натного кільцю деякого замкнутого алгебраїчного множини в афінному просторі. Тоді визначений сюр'єктивно гомоморфізм алгебр, який і доводить кінцеву породженням алгебри
Приклад 1.5 Показати, що, якщо - довільна підмножина топологічного простору, то.
Для вирішення даної задачі необхідно навести визначення розмірності топологічного простору.
розмірність топологічного простору називається точна верхня грань множини всіх цілих чисел, таких, що існує ланцюжок відрізняються один від одного непріводімих замкнутих підмножин в.
Розглянемо два ланцюжки непріводімих замкнутих підмножин:
;
.
Потрібно показати, що точна верхня грань множини довжин зростаючих послідовностей непріводімих замкнутих підмножин в вбирається точної верхньої межі безлічі довжин зростаючих послідовностей непріводімих замкнутих підмножин в.
Візьмемо зростаючу послідовність в:
,
очевидно, що її не можна ущільнити до.
Тоді візьмемо ланцюжок замикань множин:
.
Може статися, що дану ланцюжок ущільнити можна, тобто
.
Тоді і виходить, що, що й потрібно було показати.
проективностей різноманітті
Проективні різноманіття визначаються аналогічно аффінним, різниця лише в тому, що всі поняття розглядаються в проектному просторі.
Введемо проективне простір над полем. Воно позначається символом, де ціле число (зустрічається і скорочене позначення). p> Нехай арифметичне мірне векторний простір над полем. Розглянемо безліч. На цій множині можна ввести відношення еквівалентності:
В
ненульовий скаляр, такий що
В
Безліч класів цих еквівалентних наборів називається мірним проективним простором. Інакше кажучи, фактор безліч безлічі по відношенню еквівалентності, ототожнювалася точки, що лежать на одній і тій же прямій, що проходить через початок координат. p> Більшість понять визначаються аналогічно поняттям, пов'язаним з аффіннимі різноманіттям, тому їх згадувати не будемо, лише додамо деякі бракуючі.
Кільце називається градуйованим, якщо воно володіє розкладанням у пряму суму:
, де, а
адитивні абелеві групи, такі що
,
де
Побудова проективного простору як фактор безлічі дозволяє ввести на ньому однорідні координати. Кожній точці ставиться у відповідність набір, причому для всіх вважається, що. p> Інакше кажучи, мають сенс не конкретні значення, а співвідношення між ними.
Проективне простір можна покривати аффіннимі різноманітті. Побудуємо таке покриття. p> Розглянемо проективну площину з однорідними координатами. Побудуємо безліч, яке визначається такою формулою:
В
При цьому координати точок у задаються співвідношеннями:
В
Потім побудуємо за аналогією підмножина: в якому Проведемо заміну
В
Аналогічно, ...
