вається сума, кожен член якої є або квадратом одного з цих невідомих, або добутком двох різних невідомих. Квадратична форма називається дійсною або комплексної залежно від того, чи є її коефіцієнти дійсними або ж можуть бути будь-якими комплексними числами. p> Вважаючи, що в квадратичної формі вже зроблено приведення подібних членів, введемо такі позначення для коефіцієнтів цієї форми: коефіцієнт при позначимо через, а коефіцієнт при творі для - через (порівняти з (1)!).
Так як, проте,, то коефіцієнт при цьому творі міг би бути позначений і через, тобто введені нами позначення припускають справедливість рівності
В
Член можна записати тепер у вигляді
,
а всю квадратичну форму - у вигляді суми всіляких членів, де і вже незалежно один від одного приймають значення від 1 до:
В
зокрема, при виходить член
З коефіцієнтів можна скласти, очевидно, квадратну матрицю порядку; вона називається матрицею квадратичної форми, а її ранг - рангом цієї квадратичної форми.
Якщо, зокрема,, тобто матриця - невироджених, то і квадратична форма називається невиродженої. Зважаючи рівності (4) елементи матриці А, симетричні щодо головної діагоналі, рівні між собою, тобто матриця А - симетрична. Зворотно, для будь симетричною матриці А порядку можна вказати цілком певну квадратичну форму (5) від невідомих, що має елементи матриці А своїми коефіцієнтами. p> квадратичної форми (5) можна записати у іншому вигляді, використовуючи множення прямокутних матриць. Домовимося спочатку про наступному позначенні: якщо дана квадратна або взагалі прямокутна матриця А, то через буде позначатися матриця, отримана з матриці А Транспонированием. Якщо матриці А і В такі, що їх твір визначено, то має місце рівність:
В
тобто матриця, отримана Транспонированием твори, дорівнює добутку матриць, які утворюються Транспонированием співмножників, притому взятих у зворотному порядку.
Справді, якщо твір АВ визначено, то буде визначено, як легко перевірити, і твір: число стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці. Елемент матриці, що стоїть в її му рядку і м стовпці, в матриці АВ розташований в му рядку і м стовпці. Він дорівнює тому сумі творів відповідних елементів го рядка матриці А і го шпальти матриці В, тобто дорівнює сумі творів відповідних елементів го шпальти матриці і го рядка матриці. Цим рівність (6) доведено. p> Зауважимо, що матриця А тоді і тільки тоді буде симетричною, якщо вона збігається зі своєю транспонованою, тобто якщо
В
Позначимо тепер через стовпець, складений з невідомих.
.
є матрицею, має рядків і один стовпець. Транспоніруя цю матрицю, отримаємо матрицю
В
Складену з одного рядка.
Квадратична форма (5) з матрицею може бути записана тепер у вигляді наступного твору:
В
Дійсно, твір буде матрицею, що складається з одного стовпця:
.
