/>
Примножуючи цю матрицю зліва на матрицю, ми отримаємо В«матрицюВ», що складається з одного рядка і одного стовпця, а саме праву частину рівності (5).
Що станеться з квадратичною формою, якщо що входять до неї невідомі будуть піддані лінійному перетворенню
,
з матрицею Будемо вважати при цьому, що якщо форма дійсна, то і елементи матриці повинні бути дійсними. Позначаючи через Y стовпець з невідомих, запишемо лінійне перетворення (8) у вигляді матричного рівності:
В
Звідси по (6)
В
Підставляючи (9) і (10) в запис (7) форми, отримуємо:
В
Або
В
де
В
Матриця В буде симетричною, оскільки зважаючи рівності (6), справедливого, очевидно, для будь-якого числа множників, і рівності рівносильного симетричності матриці, маємо:
В
Таким чином, доведена наступна теорема:
Квадратична форма від невідомих, що має матрицю, після виконання лінійного перетворення невідомих з матрицею перетворюється на квадратичну форму від нових невідомих, причому матрицею цієї форми служить твір.
Припустимо тепер, що ми виконуємо невироджене лінійне перетворення, тобто , А тому й - матриці невироджені. Твір виходить в цьому випадку множенням матриці на невироджені матриці і тому, ранг цього твору дорівнює рангу матриці. Таким чином, ранг квадратичної форми не змінюється при виконанні невиродженого лінійного перетворення. p> Розглянемо тепер, за аналогією з вказаною на початку параграфа геометричній завданням приведення рівняння центральної кривої другого порядку до канонічного вигляду (3), питання про приведення довільної квадратичної форми деяким невиродженим лінійним перетворенням до виду суми квадратів невідомих, тобто до такого виду, коли всі коефіцієнти при творах різних невідомих дорівнюють нулю; цей спеціальний вид квадратичної форми називається канонічним. Припустимо спочатку, що квадратична форма від невідомих вже приведена невиродженим лінійним перетворенням до канонічного виду
В
де - нові невідомі. Деякі з коефіцієнтів можуть. Звичайно, бути нулями. Доведемо, що число відмінних від нуля коефіцієнтів у (11) неодмінно одно рангу форми. p> Справді, так як ми прийшли до (11) за допомогою невиродженого перетворення, то квадратична форма, що стоїть в правій частині рівності (11), також повинна бути рангу.
Однак матриця цієї квадратичної форми має діагональний вигляд
В
і вимога, щоб ця матриця мала ранг, рівносильно припущенням, що на її головної діагоналі коштує рівно відмінних від нуля елементів.
Перейдемо до доведення наступної основної теореми про квадратичних формах.
Всякая квадратична форма може бути приведена деяким невиродженим лінійним перетворенням до канонічного виду. Якщо при цьому розглядається дійсна квадратична форма, то всі коефіцієнти зазначеного лінійного перетворення можна вважати дійсними. p>...
