Сутність рівнянь квадратичної форми і їх приведення до канонічного виду
Введення
квадратична форма канонічний вигляд рівняння
Спочатку теорія квадратичних форм використовувалася для дослідження кривих і поверхонь, що задаються рівняннями другого порядку, що містять дві або три змінні. Пізніше ця теорія знайшла і інші додатки. Зокрема, при математичному моделюванні економічних процесів цільові функції можуть містити квадратичні доданки. Численні програми квадратичних форм зажадали побудови загальної теорії, коли число змінних дорівнює будь-кому, а коефіцієнти квадратичної форми не завжди є речовими числами. p> Теорія квадратичних форм вперше була розвинена французьким математиком Лагранжем, якому належать багато ідей в цій теорії, зокрема, він ввів важливе поняття наведеної форми, за допомогою якого їм була доведена кінцівку числа класів бінарних квадратичних форм заданого дискриминанта. Потім ця теорія значно була розширена Гауссом, який ввів багато нових понять, на основі яких йому вдалося отримати докази важких і глибоких теорем теорії чисел, вислизає від його попередників у цій галузі. p align="justify"> Метою роботи є вивчення видів квадратичних форм і способів приведення квадратичних форм до канонічного виду.
У даній роботі поставлені такі завдання: вибрати необхідну літературу, розглянути визначення та основні теореми, вирішити ряд завдань з даної теми.
В§ 1. Приведення квадратичної форми до канонічного виду
Витоки теорії квадратичних форм лежать в аналітичній геометрії, а саме в теорії кривих (і поверхонь) другого порядку. Відомо, що рівняння центральної кривої другого порядку на площині, після перенесення початку прямокутних координат в центр цієї кривої, має вигляд
В
Відомо, далі, що можна зробити такий поворот осей координат на деякий кут, тобто такий перехід від координат до координат
В
що в нових координатах рівняння нашої кривої матиме В«канонічнийВ» вигляд
В
в цьому рівнянні коефіцієнт при творі невідомих дорівнює, отже, нулю. Перетворення координат (2) можна тлумачити, очевидно, як лінійне перетворення невідомих, притому невироджене, так як визначник з його коефіцієнтів дорівнює одиниці. Це перетворення застосовується до лівої частини рівняння (1), і тому можна сказати, що ліва частина рівняння (1) невиродженим лінійним перетворенням (2) перетворюється в ліву частину рівняння (3). p> Численні програми зажадали побудови аналогічної теорії для випадку, коли число невідомих замість двох одно будь-кому, а коефіцієнти є або дійсними, або ж будь-якими комплексними числами.
Узагальнюючи вираз, що стоїть в лівій частині рівняння (1), ми приходимо до наступного поняттю.
квадратичною формою від невідомих нази...
