іх гравців.
Розподіл виграшів (розподіл) гравців має задовольняти наступним природним умовам: якщо позначити через xi виграш i-го гравця, то, по-перше, повинно задовольнятися умова індивідуальної раціональності
xi Ві u (i), для i ГЋN
тобто будь-який гравець повинен отримати виграш у коаліції не менше, ніж він отримав би, не беручи участь в ній (в іншому випадку він не братиме участь у коаліції), по-друге, має задовольнятися умова колективної раціональності
= u (N)
тобто сума виграшів гравців повинна відповідати можливостям (якщо сума виграшів всіх гравців менше, ніж u (N), то гравцям нема чого вступати в коаліцію; якщо ж вимагати, щоб сума виграшів була більше, ніж u (N), то це означає, що гравці повинні ділити між собою суму більшу, ніж у них є).
Таким чином, вектор x = (x1, ..., xn), що задовольняє умовам індивідуального та колективного раціональності, називається поділом в умовах характеристичної функції u.
Система {N, u}, що складається з безлічі гравців, характеристичної функції над цим безліччю і безліччю поділів, задовольняють співвідношенням (2) і (3) в умовах характеристичної функції, називається класичної кооперативної грою.
З цих визначень безпосередньо випливає наступна
Теорема. Щоб вектор x = (x1, ..., xn) був поділ у класичній кооперативної грі {N, u},
необхідно і достатньо, щоб
xi = U (i) + ai, (iГЋN)
причому
ai Ві 0 (iГЋN)
= u (N) -
У безкоаліційних іграх результат формується в результаті дій тих самих гравців, які в цій ситуації отримують свої виграші. Результатом в кооперативної грі є поділ, що виникає не як наслідок дії гравців, а як результат їх угод. Тому в кооперативних іграх порівнювати не ситуації, як це має місце в безкоаліційних іграх, а поділи, і порівняння це носить більш складний характер.
Кооперативні ігри вважаються істотними, якщо для будь-яких коаліцій K і L виконується нерівність
u (K) + u (L)
тобто в умові супераддітівность виконується строга нерівність. Якщо ж в умові супераддітівность виконується рівність
u (K) + u (L) = u (KГ€L),
тобто виконується властивість адитивності, то такі ігри називаються несуттєвими.
Справедливі наступні характеристики:
1) для того щоб характеристична функція була адитивної (кооперативна гра - несуттєвою), необхідно і достатньо виконання наступного рівності:
= u (N)
2) у несуттєвою грі є тільки один поділ
{u (1), u (2), ... , U (n)};
3) в істотній грі з більш ніж одним гравцем безліч поділів нескінченно
(u (1) + a1, u (2) + a2, ..., u (n) + an)
де
ai Ві 0 (i ГЋ N), u (N) -> 0
Кооперативна гра з безліччю гравців N і характеристичної функцією u називається стратегічно еквівалентної грою з тим же безліччю гравців і характеристичної функцією u1, якщо знайдуться такі до> 0 і довільні речові Ci (iГЋN), що...
