для будь-якої коаліції До ГЊ N має місце рівність:
u1 (K) = k u (K) +
Сенс визначення стратегічної еквівалентності кооперативних ігор (с.е.к.і.) полягає в тому що характеристичні функції с.е.к.і. відрізняються тільки масштабом виміру виграшів k і початковим капіталом Ci. Стратегічна еквівалентність кооперативних ігор з характеристичними функціями u і u1 позначається так u ~ u1. Часто замість стратегічної еквівалентності кооперативних ігор говорять про стратегічну еквівалентності їх характеристичних функцій.
Справедливі наступні властивості для стратегічних еквівалентних ігор:
1. Рефлексивність, тобто кожна характеристична функція еквівалентна собі u ~ u.
2. Симетрія, тобто якщо u ~ u1, то u1 ~ u.
3. Транзитивність, тобто якщо u ~ u1 і u1 ~ u2, то u ~ u2.
З властивостей рефлексивності, симетрії і транзитивності випливає, що безліч всіх характеристичних функцій єдиним чином розпадається на попарно непересічні класи, які називаються класами стратегічної еквівалентності.
Ставлення стратегічної еквівалентності ігор та їх характеристичних функцій переноситься на окремі поділи:
нехай u ~ u1, тобто виконується (5), і x = (x1, ..., xn) - поділи в умовах характерис-тичної функції u; розглянемо вектор x1 = (, ...,), де = k xi + Ci; для нього виконується
= k xi + Ci Ві k u (i) + Сi = u1 (i);
тобто виконується умова індивідуальної раціональності, і
== k + = k u (N) + = u1 (N)
тобто виконується умова колективної раціональності. Тому вектор є поділом в умовах u1. Кажуть, що поділ x1 відповідає поділу x при стратегічній еквівалентності u ~ u1. p> Кооперативна гра називається нульовою, якщо всі значення її характеристичної функції дорівнюють нулю. Змістовне значення нульової гри полягає в тому, що в ній гравці не мають ніякої зацікавленості.
Всякая несуттєва гра стратегічно еквівалентна нульовий.
Визначення. Кооперативна гра з характеристичної функцією u має (0,1)-редуцированную форму, якщо виконуються співвідношення:
u (i) = 0 (i ГЋ N),
u (N) = 1.
Теорема. Кожна істотна кооперативна гра стратегічно еквівалентна одній і тільки одній грі в (0,1)-скороченої формі. p> Сформульована теорема показує, що ми можемо вибрати гру в (0,1)-скороченої формі для подання будь-якого класу еквівалентності ігор. Зручність цього вибору полягає в тому, що в такій формі значення u (K) безпосередньо демонструє нам силу коаліції S (тобто ту додатковий прибуток, яку отримують члени коаліції, утворивши її), а всі поділи є імовірнісними векторами.
У грі в (0,1)-скороченої формі Дележа є будь-який вектор x = (x1, ..., xn), для якого
xi Ві 0 (i ГЋ N) = 1. h2> Перерахування характеристичних функцій з малим числом гравців.
Як було сказано раніше, для кожного безлічі гравців N існує єдиний клас стратегічно еквівалентних несуттєвих ігор з безліччю гравців N. Таким чином, залишається розгля...
