/p>
Таким чином,
p = g (-x-1) + (2x-1),
g = (2x-1) (-1/2x +1/4) +5/4.
Звідки знаходимо
(2x-1) = p + g (x +1),
5/4 = g-(p + g (x +1)) (-1/2x +1/4)
або
p1/5 (2x-1) + g (4/5 +1/5 (2x2 + x-1)) = 1,
p1/5 (2x-1) + g (2/5x2 +1/5x +3/5) = 1.
Таким чином,
y (x) = (2/5x2 +1/5x +3/5). p> Тоді p> y (a) = y () =.
Отже p>.
2.Составние алгебраїчне розширення поля.
2.1. Кінцеве розширення поля.
Нехай P - підполе поля F. Тоді ми можемо розглядати F як векторний простір над P, тобто розглядати векторний простір + F, +, {wl ВЅ l 0P},,
де wl-операція множення елементів з F на скаляр l0P. p> Визначення. Розширення F поля P називається кінцевим, якщо F, як векторний простір над P, має кінцеву розмірність. Ця розмірність позначається через [F : P]. p> Пропозиція 2.1. Якщо a - алгебраїчний елемент ступеня n над P, то [P (a): P] = n.
Ця пропозиція безпосередньо випливає з теореми 1.5. p> Визначення. Розширення F поля P називається алгебраїчним, якщо кожен елемент з F є алгебраїчним над P. p> Теорема 2.2. Будь-яке кінцеве розширення F поля P є алгебраїчним над P. p> Доказ. Нехай n-розмірність F над P. Теорема, очевидно, вірна, якщо n = 0. Припустимо, що n> 0. Будь-які n +1 елементів з F лінійно залежні над P. Зокрема, лінійно залежна система елементів 1, a, ..., an, тобто існують в P такі елементи с0, с1, ..., cn не всі рівні нулю, що с0 Г— 1 + с1a + ... + cn an = 0.
Отже, елемент a є алгебраїчним над P. p> Зазначимо, що існують алгебраїчні розширення поля, що не є кінцевими розширеннями.
2.2. Складений алгебраїчне розширення поля.
Розширення F поля P називається складовим, якщо існує
зростаюче ланцюжок підполів L i поля F така, що
P = L0 - L1 - ... - Lk = F і k> 1.
Теорема 2.3. Нехай F - Кінцеве розширення поля L і L - кінцеве розширення поля P. Тоді F є кінцевим розширенням поля P і
[F: P] = [F: L] @ [L: P]. p> Доказ. Нехай
(1) a1, ..., am - базис поля L над P (як векторного простору) і
(2) b1, ..., bn - базис поля F над L. Будь-який елемент d з F можна лінійно виразити через базис:
(3) d = l1b1 + ... + lnbn (lk 0L).
Коефіцієнти 1k можна лінійно виразити через базис (1):
(4) lk = p1k a + ... + pmk am (pik0P).
Підставляючи вирази для коефіцієнтів lk в (3), отримуємо
d = ГҐ pik aibk.
i0 {1, ..., m}
k0 {1, ..., n}
Таким чином, кожен елемент поля F представимо у вигляді лінійної комбінації елементів множини B, де
B = {a ibk ВЅ {1, ..., m}, k 0 {l, ..., n}}.
Зазначимо, що безліч B складається з nm елементів. p> Покажемо, що B є базис F над полем P. Нам треба показати, що система елементів множини B лінійно незалежна. Нехай
(5) ГҐcikaibk = 0,
I, k
де cik 0 P. Оскільки система (2) лінійно незалежна над L, то ...
