б усі її приватні похідні зверталися в точці в нуль.
Знайдемо для даної цільової функції приватні похідні по і:
В
Дорівнявши отримані вирази до нуля, отримаємо систему рівнянь:
В
Рішення системи рівнянь дає результат:
В
Таким чином, екстремум цільової функції є точка з координатами х * = Т, значення цільової функції, в якій:.
Для визначення характеру стаціонарної точки складемо визначник матриці Гессе. Під визначником Гессе розуміється визначник, складений з других похідних вихідної цільової функції. br/>В В В
Так як гессіан функція - позитивно певна матриця (виконуються умови Сильвестра: всі діагональні елементи матриці Гесса - позитивні величини, всі провідні головні визначники позитивні величини), стаціонарна точка є точкою мінімуму.
В
Рис 1. Лінії рівня функції і стаціонарна точка
2. Знаходження безумовного екстремуму методами прямого пошуку
Задача безумовної оптимізації полягає в знаходженні мінімуму або максимуму функції в відсутність будь-яких обмежень. Незважаючи на те що більшість практичних завдань оптимізації містить обмеження, вивчення методів безумовної оптимізації важливо з кількох точок зору. Багато алгоритми розв'язання задачі з обмеженнями припускають зведення її до послідовності задач безумовної оптимізації. Інший клас методів заснований на пошуку підходящого напрямку і подальшої мінімізації вздовж цього напрямку. Обгрунтування методів безумовної оптимізації може бути природним чином поширене на обгрунтування процедур вирішення завдань з обмеженнями. br/>
2.1 Метод пошуку за симплекс
Опис алгоритму:
Суть методу полягає в дослідженні цільової функції в вершинах нікого "зразка", побудованого в просторі навколо "базової" точки. Вершина, що дала найбільше значення цільової функції відображається щодо двох інших вершин і таким чином стає новою базовою точкою, навколо якої будується новий зразок і знову виконується пошук. У випадку двох змінних симплексом є рівносторонній трикутник, в тривимірному просторі - тетраедр. p align="justify"> Робота алгоритму починається з побудови регулярного симплекса в просторі незалежних змінних і оцінювання значень цільової функції в кожній точці. Потім визначається вершина з максимальним значенням цільової функції і проектується через центр ваги залишилися вершин у нову точку. p align="justify"> Процедура продовжується до тих пір, поки не буде накрита точка мінімуму.
Деякі правила:
. Якщо вершина з максимальним значенням цільової функції побудована на попередньому кроці, то відкидається вершина з наступним за величиною значенням цільової функції. p align="justify">. Якщо навколо однієї з вершин починається циклічний рух, то не...
