функціями від z на всій площині комплексної змінної. Тоді існує таке значення z0, в якому f (z0) = 0 і | f (z0) | = 0, тобто що поверхня? = | F (z) | доходить до площини? = 0 в точці z0. p> Ми доведемо, що якщо дана точка на поверхні? = | F (z) |, яка розташована вище? = 0, то в її околиці знайдеться точка поверхні, розташована нижче цієї точки. Тоді залишиться тільки довести, що на поверхні? = | F (z) | існує найнижча точка, припустимо, при z = z0. Вона не може знаходиться вище площині? = 0, бо тоді вона не була б найнижчою. Отже, | f (z0) | = 0 і, отже, f (z0) = 0, тобто z0 є корінь полінома f (z).
Тепер приступимо до доказу, розбивши його на ланцюжок лем. ​​
Лемма 1. Дан поліном з нульовим вільним членом. Тоді для будь-якого знайдеться таке, що, як тільки. p> Доказ: Нехай | z | <1. Тоді. Покладемо. Якщо, те, що й потрібно було довести. p> Лемма 2. Поліном є безперервна функція у всіх точках площини комплексної змінної. p> Доказ: Нехай дано поліном f (z) і точка z0. Розташуємо поліном за ступенями:
.
Тоді, так що
.
Права частина є поліном від з нульовим вільним членом.
За лемі 1 для будь-якого знайдеться таке, що, як тільки, що й потрібно було довести.
Лема 3 (про зростання модуля полінома). Якщо f (z) - поліном, відмінний від константи, то для будь-якого M> 0 існує таке R> 0, що | f (z) |> M, як тільки | z |> R.
Доказ:
Нехай, де поліном від z-1 з нульовим вільним членом. У силу леми 1 для знайдеться таке, що при буде. Модуль може бути зроблений як завгодно великим, саме, при буде. Візьмемо. Тоді при буде і, так що. p> Що і потрібно було довести.
Лемма 4. Точна нижня грань значень | f (z) | досягається, тобто існує таке z0, що при всіх z.
Доказ:
Позначимо точну нижню грань | f (z) | через m. Візьмемо послідовність, k = 1, 2, ..., прагне до m зверху. Кожна з цих чисел не є нижньою межею значень | f (z) |, бо m - точна нижня грань. Тому знайдуться zk такі, що, k = 1, 2, ... Скористаємося тепер лемою про зростання модуля. Для M = m +1 знайдемо таке R, що при | z |> R буде. Звідси випливає, що при всіх k. Послідовність zk виявилася обмеженою, і з неї можна витягти сходящуюся підпослідовність. Нехай її межа дорівнює z0. Тоді в силу безперервності | f (z) |. Крім того,. Тому. Отже | f (z0) | = m, що й потрібно було довести. p> Лемма 5 (лема Деламбера). Нехай f (z) - поліном, відмінний від константи, і нехай. Тоді знайдеться така точка, що. p> Доказ: Розташуємо поліном f (z) за ступенями:
.
Тоді. Нехай - перший відмінне від нуля доданок після, так що (якщо k> 1). Таке доданок є, так як f (z) НЕ константа. Тоді
В
Тут є поліном з нульовим вільним членом. За лемі 1 для знайдеться таке, що, як тільки. p> Покладемо і. Тоді. Виберемо r так, що. Для цього потрібно взяти. Далі, покладемо, тобто візьмемо. При такому виборі буде. Теп...
