(1) операція визначена на G, тобто, для всіх.
(2) операція асоціативна, тобто, для будь-яких.
(3) в G існує одиничний елемент, тобто такий елемент, що для всіх.
(4) кожен елемент володіє зворотним, тобто для будь-якого існує такий елемент, що.
Визначення 1.2. Абелева група - група з комутативної операцією.
Визначення 1.3. Якщо-кінцеве безліч, що є групою, то називають кінцевою групою, а число елементів в-порядком групи. p> Визначення 1.4. Підмножина групи називається підгрупою, якщо - група щодо тієї ж операції, яка визначена на групі. Для підгрупи використовується наступні позначення: Запис читається так: - підгрупа групи
Визначення 1.5 . Максимальна підгрупа - така підгрупа, що не існує інших підгруп її містять (не збігаються з самої підгрупою). p> Визначення 1.6 . Нехай - непорожнє підмножина групи. Сукупність всіх елементів групи, перестановочних з кожним елементом множини, називається централізатором множини в групі і позначається через. Таким чином,
В
Визначення 1.7. Центром групи називається сукупність всіх елементів групи, перестановочних з кожним елементом групи. Центр групи позначається через Ясно, що, тобто центр групписовпадает з центролізатором підмножини в групі. Крім того,
Визначення 1.8. Зафіксуємо елемент в групі. Перетин всіх підгруп групи, що містять елемент, назвемо циклічною підгрупою, породженої елементом, і позначимо через. Таким чином, .
Визначення 1.9 . Нехай - підмножина групи і через позначимо підмножина всіх елементів групи виду, де пробігає всі елементи множини. Підмножина називається підмножиною, сполученим подмножеству допомогою елемента
Нехай H - підгрупа групи G. Підгрупа називається підгрупою, сполученої підгрупі допомогою елемента. p> Визначення 1.10. Сукупність всіх елементів групи, перестановочних з підмножиною називається нормалізатором підмножини в групі і позначається через. Отже,
.
Визначення 1.11. Підгрупа називається нормальною підгрупою групи, якщо для всіх Запис читається так:-нормальна підгрупа групи. Рівність означає, що для будь-якого елемента існує елемент такий, що. p align="justify"> Лемма 1.1. [1, лема 6.4.] Нехай Н - нормальна підгрупа групи G. Тоді:
(1)
(2)
(3)
(4).
Визначення 1.12. Нехай - Група, і. Правим суміжним класом групи по підгрупі називається безліч всіх елементів групи виду, де пробігає всі елементи підгрупи Аналогічно визначається лівий суміжний клас
Визначення 1.13. Індекс підгрупи - число суміжних класів у кожному (правому або лівому) з розкладів групи в даній підгрупі. p> Визначення 1.14. Група називається фак...
