тор-групою групи по групі і позначається через. p>
Теорема 1.1. [1, теорема 6.10].
(Теорема про відповідність) Нехай H - нормальна підгрупа групи G. Тоді:
(1) якщо U - підгрупа групи G і, то - підгрупа фактор-групи
(2) кожна підгрупа фактор-групи має вигляд, де V - підгрупа групи G і;
(3) відображення є біекція безлічі S (G, H) на безліч S ();
(4) якщо S (G, H), то N - нормальна підгрупа групи G тоді і тільки тоді, коли - нормальна підгрупа фактор-групи.
Визначення 1.15. Нехай р-просте число. р-Групою називають кінцеву групу, порядок якої є ступінь числа р. Кінцева група називається примарной, якщо вона є p-групою для деякого простого р.
Визначення 1.16. сіловской р-підгрупою кінцевої групи називають таку р-підгрупу, індекс якої не ділиться на р. p> Визначення 1.17. Група називається нильпотентною, якщо всі її сіловскіе підгрупи нормальні. p> Визначення 1.18. Дві групи і називаються ізоморфними, якщо існує біекція така, що для всіх Факт ізоморфізму записують так:
Теорема 1.2 . [1, теорема 8.4.]. Нехай H - нормальна підгрупа групи G. Тоді для будь підгрупи A перетин є нормальною підгрупою в підгрупі А, а відображення є ізоморфізмом груп. p> Теорема 1.3. . [1, теорема 8.5.] Якщо N і H - нормальні підгрупи групи G, причому, то ізоморфна. p> Визначення 1.19. Поклавши у визначенні ізоморфізму, отримаємо ізоморфне відображення групи G на себе, яке називають автоморфізмом групи G. Сукупність усіх автоморфізмів групи G позначимо через AutG. p> Теорема 1.4. Сукупність AutG всіх автоморфізмів групи G є групою.
Теорема 1.5. Нехай G - група і H - її підгрупа. Тоді й ізоморфна підгрупі групи автоморфізмів H.
Теoрема 1.6 .
(1) Якщо - нескінченна циклічна група, то - група порядку 2.
(2) Якщо - кінцева циклічна група порядку n, то ізоморфна групу всіх оборотних елементів напівгрупи.
(3) Група автоморфізмів циклічної групи абелева.
(4) Група автоморфізмів групи простого порядку p є циклічною групою порядку p-1.
Визначення 1.20. Нехай-підгрупа групи і-автоморфізм групи. Якщо для всіх то називають характеристичної підгрупою групи і пишуть У кожній групі одинична підгрупа і вся група є характеристичними підгрупами. Якщо в групі не інших (відмінною від одиничної підгрупи і всієї групи) характеристичних підгруп, то група називається характеристично простий. p> Лемма 1.2. [1, лема 9.7]. Кожна підгрупа кінцевої циклічної групи характеристична. p> Лемма 1.3. [1, лема 9.10]. Нехай Тоді:
(1) якщо H char K, K char G, то H char G;
(2) якщо H char K, то.
Визначення 1.21. Ланцюжок підгруп
В
називається поруч довжини а неодиничної групи G і позначається чере...
