рактерна довжина одного кроку. p> Тому:
В В
В
Рис. 4. Траєкторія руху броунівський частинки.
Це означає, що характерний розмір дифузійної траєкторії на заданій площі пропорційний величиною цієї площі. Тобто траєкторія на площині є досить густий. Це, втім, не означає кінцівки площі, замітати самої дифузійної кривої, через безліч самоперетинів. Можна показати, що для двовимірного броунівського руху вірогідність повернення в будь-яку, як завгодно малу околиця довільно обраної точки, дорівнює 1. У разі ж дифузії в тривимірному просторі траєкторія броунівський частинки є, навпаки, дуже пухкої (її фрактальна розмірність як і раніше дорівнює 2) і не заповнює всього наданого їй обсягу. У цьому випадку ймовірність повернення виявляється менше одиниці.
2. СУТЬ Броунівський рух
Початок дослідження броунівського руху датується 1827 роком, коли шотландський ботанік Роберт Броун виявив, що дрібні частки, зважені в рідині, здійснюють безладне безперервний рух, яке було названо на честь свого відкривача. У 1905 році Альберт Ейнштейн пояснив це рух хаотичними зіткненнями з молекулами навколишнього середовища.
Шотландський ботанік Роберт Броун (іноді його прізвище транскрибують як Браун) ще за життя як кращий знавець рослин отримав титул В«князя ботаніківВ». Він зробив багато чудових відкриттів. У 1827 Броун проводив дослідження пилку рослин. Він, зокрема, цікавився, як пилок бере участі в процесі запліднення. Якось він розглядав під мікроскопом виділені з клітин пилку північноамериканського рослини Clarkia pulchella (Кларк гарненькою) зважені у воді подовжені цитоплазматичні зерна. Несподівано Броун побачив, що найдрібніші тверді крупинки, які ледве можна було розгледіти у краплі води, безперервно тремтять і пересуваються з місця на місце. Він встановив, що ці руху, за його словами, В«не пов'язані ні з потоками в рідині, ні з її поступовим випаровуванням, а властиві самим частинкам В». Спостереження Броуна підтвердили інші вчені. Найдрібніші частинки вели себе, як живі, причому В«ТанецьВ» часток прискорювався з підвищенням температури і зі зменшенням розміру частинок і явно уповільнювався при заміні води більш вузький середовищем. Це дивовижне явище ніколи не припинялося: його можна було спостерігати як завгодно довго. Спочатку Броун подумав навіть, що в полі мікроскопа дійсно потрапили живі істоти, тим більше що пилок - це чоловічі статеві клітини рослин, однак так само вели частинки з мертвих рослин, навіть із засушених за сто років до цього в гербаріях. Тоді Броун подумав, чи не є це В«елементарні молекули живих істот В», про які говорив знаменитий французький натураліст Жорж Бюффон. Це припущення відпало, коли Броун почав досліджувати явно неживі об'єкти; спочатку це були дуже дрібні частинки вугілля, а також сажі та пилу лондонського повітря, потім тонко розтерті неорганічні речовини: скло, безліч різних мінералів. В«Активні молекулиВ» виявилися всюди: В«У кожному мінералі, - писав Броун, - який мені вдавалося подрібнити в пил до такої міри, щоб вона могла протягом якогось часу бути зваженою в воді, я знаходив, у великих або менших кількостях, ці молекули В».
Треба сказати, що у Броуна не було якихось новітніх мікроскопів. У своїй статті він спеціально підкреслює, що у нього були звичайні двоопуклі лінзи, якими він користувався протягом декількох років. І далі пише: « ході всього дослідження я продовжував використовувати ті ж лінзи, з якими почав роботу, щоб надати більше переконливості моїм твердженням та щоб зробити їх якомога більш доступними для звичайних спостережень В».
Зараз щоб повторити спостереження Броуна достатньо мати не надто сильний мікроскоп і розглянути з його допомогою дим у зачерненной коробочці, освітлений через бічний отвір променем інтенсивного світла. У газі явище проявляється значно яскравіше, ніж у рідини: видно розсіюють світло маленькі клаптики попелу або сажі (залежно від джерела диму), які безперервно скачуть туди і сюди.
Норберт Вінер в 1923 році побудував першу задовільну з математичної точки зору модель вибіркових реалізацій і довів їх В«майже напевноВ» (мовою теорії ймовірностей) безперервність.
Найпростішою дискретної апроксимацією броунівського руху служить випадкове одномірне блукання. У цьому випадку частинка спочатку розташовується в точці х0 = 0 на прямій. Частка робить одиничний крок вправо або вліво залежно від випадкового вибору, наприклад, кидання монети. Випадкове блукання відбувається итеративно. Для кожного п = 1,2,3, .... покладемо, що
хn = хn-1 В± 1. br/>
Більш точним наближенням до реального броунівському руху є заміна кроків В± 1 випадковими величинами gп, мають гауссовское, або нормальний розподіл. Після першого кроку частка перебуває в положенні 1 = 0 + g1, а після n кроків у положенні
.
На рис.5. зображена типова реалізація гауссівсь...
