м мінімізації функції
В
Нехай I (t) - індекс інфляції в момент t. Принцип стабільності умов призводить до гіпотезі про сталість темпів зростання середніх цін, тобто індексу інфляції. Таким чином, природна модель для індексу інфляції - це
В
Ця модель не є лінійною, метод найменших квадратів безпосередньо застосовувати не можна. Однак якщо Прологаріфміровав обидві частини попереднього рівності:
В
то отримаємо лінійну залежність, розглянуту в першому пункті цієї глави.
Незалежних змінних може бути не одна, а декілька. Нехай, наприклад, за вихідними даними потрібно оцінити невідомі параметри a і b в залежності
В
де - похибка. Це можна зробити, мінімізувавши функцію
В
Залежність від х і у не обов'язково повинна бути лінійною. Припустимо, що з якихось міркувань відомо, що залежність повинна мати вигляд
В
тоді для оцінки п'яти параметрів необхідно мінімізувати функцію
В
Більше докладно розглянемо приклад з мікроекономіки. В одній з оптимізаційних моделей поведінки фірми використовується т.зв. виробнича функція f (K, L), задає обсяг випуску залежно від витрат капіталу K та праці L. У якості конкретного виду виробничої функції часто використовується так звана функція Кобба-Дугласа
В
Однак звідки взяти значення параметрів і ? Природно припустити, що вони - одні й ті ж для підприємств галузі. Тому доцільно зібрати інформацію де f k - обсяг випуску на k -му підприємстві, K k - обсяг витрат капіталу на k- ом підприємстві, L k - обсяг витрат праці на k- ом підприємстві (в короткому викладі тут не намагаємося дати точних визначень використовуваним поняттям з економіки підприємства). За зібраної інформації природно спробувати оцінити параметри і. Але вони входять в залежність нелінійно, тому відразу застосувати метод найменших квадратів можна. Допомагає логарифмуванню:
В
Отже, доцільно зробити заміну змінних
В
а потім знаходити оцінки параметрів і , Мінімізуючи функцію
В
Знайдемо приватні похідні:
В
Прирівняємо приватні похідні до 0, скоротимо на 2, розкриємо дужки, перенесемо вільні члени вправо. Отримаємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:
В В
Таким чином, для обчислення оцінок методу найменших квадратів необхідно знайти п'ять сум:
В
Для упорядкування розрахунку цих сум може бути використана таблиця типу тієї, що застосовувалася в першому пункті цієї глави. Відзначимо, що розглянута там постановка переходить в розбираємося зараз при
В
Подходящая заміна змінних в багатьох випадках дозволяє перейти до лінійної залежності. Нап...
