им намагаючись досягти особистої вигоди. p align="justify"> Кооперативні ігри виходять у випадках, коли, в грі n гравців дозволяється утворювати певні коаліції. Позначимо через N безліч всіх гравців, N = {1, 2, ..., n}, а через K - будь-яке його підмножина. Нехай гравці з K домовляються між собою про спільні дії і, таким чином, утворюють одну коаліцію. Очевидно, що число таких коаліцій, що складаються з r гравців, дорівнює числу сполучень з n по r, тобто , а число всіляких коаліцій одно
конфліктний коаліційний кооперативний Шеплі
= 2 n - 1.
З цієї формули видно, що число всіляких коаліцій значно зростає в залежності від числа всіх гравців у даній грі. Для дослідження цих ігор необхідно враховувати всі можливі коаліції, і тому труднощі досліджень зростають із зростанням n. Утворивши коаліцію, безліч гравців K діє як один гравець проти решти гравців, і виграш цієї коаліції залежить від застосовуваних стратегій кожним з n гравців. p align="justify"> Функція?, що ставить у відповідність кожній коаліції K найбільший, впевнено одержуваний його виграш? (K), називається характеристичною функцією гри. Так, наприклад, для безкоаліційній ігри n гравців? (K) може вийти, коли гравці з безлічі K оптимально діють як один гравець проти решти N K гравців, що утворюють іншу коаліцію (другий гравець). p align="justify"> Характеристична функція? називається простою, якщо вона приймає тільки два значення: 0 і 1. Якщо характеристична функція? проста, то коаліції K, для яких? (K) = 1, називаються виграють, а коаліції K, для яких? (K) = 0, - програють. p align="justify"> Якщо в простій характеристичної функції? виграють є ті і тільки ті коаліції, які містять фіксовану непорожню коаліцію R, то характеристична функція?, що позначається в цьому випадку через? R , називається найпростішої .
Змістовно прості характеристичні функції виникають, наприклад, в умовах голосування, коли коаліція є виграє, якщо вона збирає більше половини голосів (проста більшість) або не менше двох третин голосів (кваліфікована більшість).
Більш складним є приклад оцінки результатів голосування в Раді безпеки ООН, де виграють коаліціями є всі коаліції, що складаються з усіх п'яти постійних членів Ради плюс ще хоча б один непостійний член, і тільки вони.
Найпростіша характеристична функція з'являється, коли в голосі колективі є деяка "ядро", голосуюча з дотриманням правила "вето", а голоси інших учасників виявляються несуттєвими.
Позначимо через u G характеристичну функцію безкоаліційній гри. Ця функція має такі властивості:
