Зміст
Введення
Глава I. Поверхні і орієнтація
Глава II. Внутрішня геометрія поверхні. Теорема Александрова
Висновок
Список використаної літератури
Введення
У роботі розглядається теорія внутрішньої поверхні в геометрії. Виклад теми будується навколо теореми Александрова. p align="justify"> Внутрішня геометрія поверхні - це сукупність тих її геометричних властивостей, які можуть бути отримані лише за допомогою вимірювань на поверхні без звернення до охоплюючого простору. Наприклад, планіметрия - внутрішня геометрія площині
Теорія внутрішньої поверхні має значення в неевклідових системах геометрії. Так як будь-яку поверхню з точки зору її внутрішньої геометрії можна розглядати як інтерпретацію будь-якій поверхні, наложімой на неї, а необхідною і достатньою умовою наложімості поверхонь є рівність гаусових кривизн у відповідних точках поверхонь, Бельтрами встановив, що площина Лобачевського може бути інтерпретована будь-якою поверхнею постійної негативної кривизни.
У роботі буде розглянуто подання про взаємозв'язок поверхні і орієнтації і про внутрішній геометрії поверхні.
Глава I. Поверхні і орієнтація
Всякая проста поверхню допускає орієнтацію. Проста гладка поверхня в задається параметричним відображенням
В
ранг похідної (матриці Якобі) якого дорівнює 2. Змінні називаються локальними координатами на. Орієнтація поверхні визначається як орієнтація області зміни локальних координат (тобто орієнтацією простору). Наприклад, зміна порядку локальних координат змінює орієнтацію поверхні на протилежну. Вибір орієнтації поверхні можна здійснити вибором базису дотичних векторів, наприклад
В
безперервно залежать від точки поверхні. Таке визначення орієнтації можна поширити і на поверхні, які не є простими. Нарешті, орієнтацію поверхні можна задати вибором вектора одиничної нормалі, безперервно залежного від точки поверхні. При цьому треба користуватися угодою: вектор визначає ту ж орієнтацію, що і дотичні вектора, якщо базис векторів задає орієнтацію простору. Про вибір вектора нормалі говорять як про вибір боку поверхні. p> Поверхня, яка не є простою може не бути ориентируемой. Це означає, що на цій поверхні не існує безперервно залежного від точки поверхні базисного репера дотичних векторів, що визначають орієнтацію дотичних площин. Це ж означає, що безперервно переміщаючи вектор одиничної нормалі до поверхні по замкнутому шляху можна так вибрати цей шлях, що при поверненні у вихідну точку напрямок вектора нормалі зміниться на протилежне. Такі поверхні називаються односторонніми. Односторонні поверхні не ориентируемой. Прикладом односторонньої поверхні в є лист Мебіуса. br/>В
Рис.1...
