я модуля втрат до модуля збереження.
Для нормальних напружень, а для напруг зсуву
Фазовий кут? (Кут механічних втрат) - це кут, під яким динамічна сила випереджає динамічну синусоидальную деформацію (рис. 1).
Рис. 1. Синусоїдально змінюється напруга і деформація при сталій періодичній деформації вязкоупругого матеріалу
Модель стандартного вязкоупругого тіла. Гармонійні деформації
Відомо, що для більшості твердих тіл, особливо у випадку дуже малих деформацій, виконується закон Гука в його найбільш простій формі:
де, - деформації, E - модуль пружності.
Поведінка в'язких рідин звичайно добре слідує закону Ньютона:
де, - градієнт швидкості руху рідини, - коефіцієнт в'язкості.
Полімерні матеріали, як правило, виявляють як властивості пружних тіл, так і деякі властивості рідин. Поєднання вузьких і пружних властивостей в одному матеріалі може бути здійснено набором і з'єднанням в єдиній структурі елементів, кожен з яких володіє тільки пружними або тільки в'язкими властивостями. Це призводить до специфічного зв'язку між напругою і деформацією.
Розглянемо стандартну В'язкопружні модель (рис. 2):
Рис. 2. Стандартна В'язкопружні модель
Напруга всієї моделі складається з напруг нижній частині системи і верхньої пружини:
,
де - напруга пружини 1 і демпфера 2.
Так як верхня пружина не дає ніяких тимчасових ефектів, розглянемо докладніше нижню частину системи - модель Максвелла (рис. 3):
Рис. 3. Модель Максвелла
Складовими даної моделі є пружина і демпфер (поршень, що рухається у в'язкій рідині), з'єднані послідовно.
Деформація цієї системи являє собою суму деформацій пружною і пластичної частин:
де - деформація пружини, - деформація пружної частини.
Продифференцируем вираз по t:
(1)
З боку пружної частини системи (пружини) напруги йдуть закону Гука:
,
а з боку в'язкої частини напруги приймають вигляд:
,
де.
Так як розглядається система в цілому
.
Тоді
.
Підставами ці вирази у формулу (1), отримаємо:
(2)
Рівняння (2) - основне диференціальне рівняння, що описує механічну релаксацію полімерів, які мають в'язкопружних властивостей. На його основі Максвелл запропонував моделювати в'язкопружні властивості полімерів послідовним з'єднанням найпростіших елементів, що виявляють ці властивості за час дії сили.
З рівняння (2) висловимо:
(3)
деформуючи матеріал по наступному закону:
, (4)
де t - час, - кругова частота (f - число коливань в 1 с).
Підставами останнє в (3). Рішення диференціального рівняння будемо шукати у вигляді:
Перевіримо, чи вдасться це...
