P>
Візьмемо трубку струму, досить тонку для того, щоб у всіх точках її поперечного перерізу S швидкість часток v була одна і та ж (рис. 2) . При стаціонарному плині трубка струму подібна стінок жорсткої труби. Тому через перетин 5 пройде за час Дt об'єм рідини, рівний SvДt , а в одиницю часу обсяг (1):
Рідина, щільність якої всюди однакова і змінюватися не може, називається нестисливої. На рис. 39.3 зображені два перетину дуже тонкої трубки струму - S1 і S2. Якщо рідина несжимаема, то кіл - у її між цими перетинами залишається незмінним.
Звідси випливає, що обсяги рідини, що протікають в одиницю часу через перетину S1 і S2, повинні бути однаковими (2):
Рівність (2) справедливо для будь-якої пари довільно взятих перетинів. Отже, для нестисливої ??рідини при стаціонарному перебігу твір Sv в будь-якому перетині даної трубки струму має однакове значення (3):
Це твердження носить назву теореми про нерозривність струменя.
Зі співвідношення (3) випливає, що при змінюваному перерізі трубки струму частинки нестисливої ??рідини рухаються з прискоренням (рис. 4). Якщо трубка струму горизонтальна, це прискорення може бути обумовлено тільки непостійністю тиску уздовж трубки - в місцях, де швидкість більше, тиск повинен бути менше, і навпаки.
1. Принцип руху рідин
Торкаючись трактату Д. Бернуллі «Гідродинаміка», Лагранж називає його твором, «яке взагалі блищить аналізом, настільки ж витонченим по своєму викладу, наскільки простим за своїх висновків». В основу дослідження Д. Бернуллі кладе принцип збереження механічної енергії. Він перший правильно вирішив завдання про закінчення рідини з посудини, про реакцію рідини. Однак Лагранж вважає енергетичний принцип ненадійним, так як він до того часу ще не був доведений в загальному вигляді. Слід зауважити, що сам Лагранж вивів цей принцип зі своєї загальної формули динаміки для широкого кола явищ: для консервативних сил, діючих на точки системи зі стаціонарними зв'язками. Однак кінцеві алгебраїчні співвідношення гідравліки були менш універсальними, ніж диференціальні рівняння руху рідини. Випадки несталого руху не могли бути описані енергетичними співвідношеннями. Ймовірно, тому Лагранж вважав блискучий, на його думку, аналіз «гідродинаміки» Бернуллі недостатнім. Лагранж зауважив, що принцип Даламбера і його попередника Я. Бернуллі про рівновагу втрачених та набутих спонукань до руху в даний момент часу давав у руки дослідників більш точний метод, ніж енергетичний принцип.
Тому Лагранж і вважав Даламбера першим, хто звів істинні закони руху рідин до аналітичних рівнянь. Саме в його роботах вперше з'являються точні рівняння руху рідин (як нестискуваних, так і стискаються) - рівняння в приватних похідних, яких раніше не знали. Лагранж зазначає: «Однак ці рівняння ще не володіли всією тією спільністю і простотою, яка їм може бути додана. Тільки Ейлера ми зобов'язані першими загальними формулами для руху рідин, заснованими на законах їх рівноваги і вираженими в простій і ясній символіці приватних похідних. Завдяки цьому відкриттю вся механіка рідин була зведена до питання одно...
