го тільки аналізу, і якби рівняння, що містять цю механіку, були інтегровними, можна було б у кожному випадку повністю визначити умови руху та дії рідини, що приводиться в рух будь-якими силами ... ».
Здавалося, що ще можна було б додати до розвитку точних методів гідромеханіки після трудів Ейлера? Однак Лагранж спробував це зробити. Він сформулював своє завдання так: «Вироблене нами в першій частині цієї праці об'єднання в одній і тій же формулі всіх законів рівноваги тіл як твердих, так і рідких і зроблене нами застосування цієї формули до законів руху, природно, приводить нас до того, щоб точно так само об'єднати динаміку і гідродинаміку, як гілки єдиного принципу і як висновки з єдиної загальної формули ».
Рівняння руху ідеальної рідини виводяться із загальної формули динаміки. Міркуваннями, аналогічними проведеним для випадку рівноваги рідини, Лагранж отримує три динамічних рівняння, що відрізняються від статичних присутністю «сил інерції».
Введення нового знака Лагранж пояснює тим, що цей знак потрібен «для вираження диференціалів, що відносяться до миттєвого положенню суміжних частинок, тоді як закон буде ставитися тільки до зміни положення тієї ж частинки в просторі».
У сукупності виходять чотири рівняння для визначення невідомих. Отримана система чотирьох рівнянь з чотирма змінними перетворюється Лагранжем до форми, яку прийнято називати формою Лагранжа: змінними є початкові значення координат частинки і час. Такі рівняння зустрічалися і в роботах Ейлера. Ці рівняння складнішої структури, ніж рівняння в змінних Ейлера, мають перевагу для неоднорідних рідин, коли щільність в даній частці, якої приписані так звані лагранжевого координати, не змінюються за часом.
При вивченні руху ідеальної нестисливої ??однорідної рідини Лагранж виділяє важливий випадок, коли швидкості володіють потенціалом (хоча терміна «потенціал» у Лагранжа немає). Він записує умови безвихорової течії.
Далі формулюється так звана теорема Лагранжа про збереження потенційного течії в ідеальній однорідної рідини, якщо протягом почалося зі стану спокою. Формулювання цієї теореми дається в чисто математичних термінах: «Якщо рух починається зі стану спокою, буде для цього миті інтегрувального і, стало бути, воно буде завжди інтегрувального протягом усього часу руху».
Далі Лагранж наводить приклад, коли вираз не є повним диференціалом, однак загальне рівняння руху і в цьому випадку може бути проінтегрувати. Приклад Лагранжа відноситься до випадку обертання рідини з постійною кутовий швидкістю навколо вертикальної осі. У цьому окремому випадку їм отримано перший інтеграл, що має характер енергетичного співвідношення.
Цей результат має велике значення в гідродинаміці ідеальної баротропной рідини, в більш загальному вигляді він був пізніше отриманий Коші і став називатися інтегралом Лагранжа - Коші. Треба відзначити, що в роботах Ейлера цей інтеграл вводиться в 1755-1770 рр..
2. Рівняння Бернуллі
У реальних рідинах при переміщенні шарів рідини один щодо одного виникають сили внутрішнього тертя, що гальмують відносне зміщення шарів. Уявна рідина, у якої внутрішнє тертя повністю відсутня, називається ідеальною. Перебіг ідеальної рідини не супроводжується диссипацией енергії. <...
