аслідок широкого застосування в біології, зокрема при моделюванні загибелі і розмноження особин різних популяцій.
У даній роботі буде поставлено завдання, метою якої є визначення математичного очікування для деяких процесів розмноження і загибелі. Будуть наведені приклади обчислень середнього числа заявок в системі в стаціонарному режимі і зроблені оцінки для різних випадків процесів розмноження і загибелі.
1. Процеси розмноження і загибелі
Процеси розмноження і загибелі є окремим випадком марковських випадкових процесів, які, тим не менш, знаходять досить широке застосування при дослідженні дискретних систем зі стохастичним характером функціонування. Процес розмноження і загибелі являє собою марківський випадковий процес, в якому переходи зі стану E i допустимі тільки в сусідні стану E i - 1, E i і E i +1. Процес розмноження і загибелі є адекватною моделлю для опису змін, що відбуваються в обсязі біологічних популяцій. Дотримуючись цієї моделі, кажуть, що процес знаходиться в стані E i, якщо обсяг популяції рівний i членам. При цьому перехід зі стану E i в стан E i +1 відповідає народженню, а перехід з E i в E i - 1 - загибелі, передбачається, що обсяг популяції може змінюватися не більше ніж на одиницю; це означає, що для процесів розмноження і загибелі не допускаються багаторазові одночасні народження та / або загибелі [1].
Дискретні процеси розмноження і загибелі менш цікаві, ніж безперервні, тому надалі вони докладно не розглядаються і основна увага приділяється безперервним процесам. Однак слід зазначити, що для дискретних процесів проходять майже паралельні викладення. Перехід процесу розмноження і загибелі зі стану E i назад в стан E i представляє безпосередній інтерес тільки для дискретних ланцюгів Маркова; в безперервному випадку інтенсивність, з якою процес повертається в поточний стан, дорівнює нескінченності, і ця нескінченність була виключена і визначається наступним чином:
qii (t) =.
У разі процесу розмноження і загибелі з дискретним часом ймовірності переходів між станами
Тут di - ймовірність того, що на наступному кроці (в термінах біологічної популяції) відбудеться одна загибель, яка зменшує об'єм популяції до за умови, що на даному кроці об'єм популяції рівний i. Аналогічно, bi - ймовірність народження на наступному кроці, що призводить збільшення обсягу популяції до; являє собою ймовірність того, що жодне з цих подій не відбудеться і на наступному кроці об'єм популяції не зміниться. Допускаються тільки ці три можливості. Ясно, що, так як загибель не може настати, якщо нікому гинути [2].
Проте на противагу інтуїції допускається, що, що відповідає можливості народження, коли в популяції немає жодного члена. Хоча це можна розцінювати як спонтанне народження або божественне творіння, але в теорії дискретних систем така модель являє собою цілком осмислене допущення. А саме, модель така: популяція являє собою потік вимог, що знаходяться в системі, загибель означає відхід вимоги з системи, а народження відповідає надходженню в систему нової вимоги. Ясно, що в такій моделі цілком можливе надходження нової вимоги (народження) у вільну систему. Матриця ймовірностей переходів для загального процесу розмноження і загибелі має наступний вигляд:
Т=
Якщо ланцюг Маркова є кінцевою, то останній рядок ...
