матриці записується у вигляді [0 +0 ... 0]; це відповідає тому, що не допускаються ніякі розмноження після того, як популяція досягає максимального обсягу n. Матриця T містить нульові члени тільки на головній діагоналі і двох найближчих до неї діагоналях. Через такого приватного виду матриці T природно очікувати, що аналіз процесу розмноження і загибелі не повинен викликати труднощів [1, 3]. Далі будемо розглядати тільки безперервні процеси розмноження і загибелі, в яких переходи зі стану Ei можливі тільки в сусідні стану Ei - 1 (загибель) і Ei +1 (народження). Позначимо через li інтенсивність розмноження; вона описує швидкість, з якою відбувається розмноження в популяції обсягу i. Аналогічно, через mi позначимо інтенсивність загибелі, задающую швидкість з якою відбувається загибель в популяції обсягу i. Зауважимо, що введені інтенсивності розмноження і загибелі не залежать від часу, а залежать тільки від стану Ei, отже, отримуємо безперервну однорідну ланцюг Маркова типу розмноження і загибелі. Ці спеціальні позначення введені тому, що вони безпосередньо призводять до позначень, прийнятим в теорії дискретних систем. Залежно від раніше введених позначень маємо:
li=qi, i +1 і mi=qi, i - 1.
Вимога про допустимість переходів тільки в найближчі сусідні стану означає, що виходячи з того, що
отримаємо qii=- (mi + li). Таким чином, матриця інтенсивностей переходів загального однорідного процесу розмноження і загибелі приймає вигляд:
Q=
Зауважимо, що за винятком головної діагоналі і сусідніх з нею знизу і зверху діагоналей всі елементи матриці дорівнюють нулю. Відповідний граф інтенсивностей переходів представлений на відповідному малюнку (2.1) [2]:
Рисунок 2.1 - Граф інтенсивностей переходів для процесу розмноження і загибелі
Більш точне визначення безперервного процесу розмноження і загибелі полягає в наступному: певний процес являє собою процес розмноження і загибелі, якщо він є однорідною ланцюгом Маркова з безліччю станів {E0, E1, E2, ...}, якщо народження і загибель є незалежними подіями (це випливає безпосередньо з марковского властивості) і якщо виконуються наступні умови:
1) (точно 1 народження в проміжку часу (t, t +? t), об'єм популяції рівний i);
2) (точно 1 загибель в проміжку часу (t, t +? t) | обсяг популяції рівний i);
3)=(точно 0 народжень в проміжку часу (t, t +? t) | обсяг популяції рівний i);
4)=(точно 0 загибелі в проміжку часу (t, t +? t) | обсяг популяції рівний i).
Таким чином,? t з точністю до є ймовірність народження нової особини в популяції з n особин, а - ймовірність загибелі особини в цій популяції за час [2, 3].
Ймовірності переходу задовольняють зворотним рівняння Колмогорова. Таким чином, ймовірність того, що безперервний процес розмноження і загибелі в момент часу t перебуває в стані Ei (обсяг популяції рівний i) визначається у вигляді (2.1):
(2.1)
Для вирішення отриманої системи диференціальних рівнянь в нестаціонарному випадку, коли ймовірності Pi (t), i=0,1,2, ..., залежать від часу, необхідно задати розподіл початкових ймовірностей Pi (0), i=0,1, 2, ..., при t=0. Крім того, має задовольнятися нормувального умова.
Розглянемо тепер найпростіший процес чистого розмноження, який визначається як процес, для якого mi=0 при всіх i. Крім того, для ще більшого спрощення за...
