ло. Тут є над чим посміятися, друзі »
Варто зазначити, однак, що підтвердження такого «підсумовування» розбіжних рядів знайшло відображення у фізиці: в теорії бозони струн, розрахунку ефекту Казимира та багато іншого.
Основні поняття
При вивченні рядів заданому числовому ряду
в якості його суми приписується межа його часткової суми, в припущенні, що ця межа існує і кінцевий. У такому контексті розходиться ряд виявляється позбавленим суми, і тому подібні ряди часто виключали раніше з розгляду суми ряду. Тому виникає закономірне питання про можливість підсумовування розбіжних рядів у деякому новому сенсі, відмінному від стандартного розуміння суми. У даній роботі будуть розглянуті, зокрема, метод статечних рядів, метод середніх арифметичних (часто іменований методом Чезаро) і також деякі рідше застосовувані методи. Але для початку необхідно точно ввести необхідні поняття.
Отже, задану послідовність називають нескінченним поруч. Сумою ряду називається при де. Зазвичай, якщо ряд має кінцеву суму, його називають збіжним, в іншому ж випадку (якщо сума або ж суми немає зовсім) - розбіжним.
Розглянемо «коливний» ряд:
Даний ряд часто називають «Поруч Гранді» на честь італійського математика, філософа і священика Луїджі Гвідо Гранді. За допомогою стандартних угруповань знайдемо «суму» даного ряду:
Однак, з іншого боку:
Нескладно помітити, що таким подібними способами можна отримати будь-яке значення такої «суми». Можна отримати і інше значення:
У попередніх міркуваннях не враховується, що насправді означає «сума ряду». Оскільки важливо вміти брати частині ряду в дужки, а також проводити арифметичні дії з рядами, можна дійти двох висновків:
· Ряд 1 - 1 + 1 - 1 + ... не має суми.
· ... але його сума повинна дорівнювати? .
Отже, в даному контексті необхідно ввести вимоги, яким має підкорятися поняття «узагальненої суми» - поняття, застосовні до більш значного класу рядів.
перше, якщо ряду приписується узагальнена сума « А, а ряду - узагальнена сума » В, то ряд, де p, q - дві довільні постійні, то повинен мати в якості узагальненої суми" число. Метод підсумовування, що задовольняє цій вимозі, називається лінійним.
друге, нове визначення повинно містити звичайне визначення як окремий випадок. Точніше кажучи, ряд, що сходиться в звичайному сенсі до суми А, повинен мати узагальнену суму" , і притому також рівну А. Метод підсумовування, що володіє цією властивістю, називають регулярним. Зрозуміло, інтерес представляють лише такі регулярні методи, які дозволяють встановлювати суму в більш широкому класі випадків, ніж звичайний метод підсумовування: лише тоді з повним правом можна говорити про узагальнений підсумовуванні.
Метод статечних рядів. Формулювання Пуассона
Цей метод, по суті, належить Пуассону, який зробив першу спробу застосувати його до тригонометричним рядах. Він полягає в наступному:
За даним числовому ряду будується статечної ряд
Якщо цей ряд для сходиться і його сума при має межу А:
то число А і називають «узагальненої (в сенсі П...
