Актуальність
Математичний апарат - унікальна річ, що породила своєю умовністю безмежну кількість здаються парадоксів. Але, що ще більш парадоксально, що випливають з даних, на перший погляд, «парадоксів» факти знаходять відображення в навколишньому світі, з часом його вивчення. Як це часто буває з математикою - теорія, розроблена до того, як вона знадобилася в інших областях науки видається марною і «смішний», як, наприклад, перша згадка комплексного числа математиком Кардано в праці «Велике мистецтво, або про алгебраїчних правилах» (1545 ). Варто відзначити, що навіть у XVII столітті частина наукового співтовариства вважала абсурдними ірраціональні числа, що вже говорити про «уявних» комплексних.
Основоположником теорії підсумовування рядів є Леонард Ейлер. Багато математики XVII і XVIII століть (Лейбніц, Бернуллі, Даламбер, Лагранж та ін) довго і безуспішно сперечалися про те, чому дорівнює сума розбіжного ряду. Ейлер перший зрозумів, що завдання поставлене неправильно і що потрібно питати, як визначити суму розбіжного ряду? Він пише:
«І ось я кажу, що вся складність криється в назві» сума «. Дійсно, якщо під »сумою« ряду розуміти, як це зазвичай робиться, результат складання всіх його членів, то немає ніякого сумніву, що суми можна одержати тільки для тих нескінченних рядів, які є сходящимися і дають результати, тим ближчі до деякого певному значенню, чим більше членів складається. Розходяться ж ряди, члени яких не убувають ..., взагалі не матимуть ніяких певних сум, якщо тільки слово »сума" розуміється в сенсі результату складання всіх членів.
Цих труднощів і здаються протиріч ми абсолютно уникнемо, якщо ми пріпішем слову «сума» значення, відмінне від звичайного. А саме, ми скажемо, що сума деякого нескінченного ряду є кінцеве вираз, з розкладання якого виникає цей ряд ... При цьому угоді, якщо ряд буде збіжним, то нове визначення слова «сума» збігається із звичайним, а так як розходяться ряди не мають ніякої суми у власному розумінні слова, то з цього нового ухвали не проістечет ніяких незручностей. Прийнявши це визначення, ми зможемо зберегти вигоди користування розбіжними рядами і в той же час захиститися від усіляких звинувачень"
(Л. Ейлер, Диференціальне числення, ГІТТЛ, М.-Л., 1949, стор.101).
Як видно з цієї цитати, точка зору Ейлера на розбіжні ряди цілком сучасна: розбіжні ряди не мають суми в звичайному сенсі цього слова, проте можливо дати нове визначення суми ряду, застосовне як до всіх сходящимся рядах, так і до деяких розбіжним рядах; при цьому від визначення потрібно зажадати, щоб для збіжних рядів нова сума співпадала із звичайною.
Можливість підсумовування розбіжних рядів піддавалася навіть від математиків, які займаються даною галуззю досліджень. Так, Нільс Абель писав в 1826 році:
«Розбіжні ряди - це цілком робота диявола, і сором тому, хто намагається знайти будь-які докази щодо них. Можна отримати з них, що захочеш, і це вони породили так багато горя і парадоксів. Чи можна уявити щось більш жахливе, ніж сказати, що 0=1? 2 n + 3 n ? 4 n + і т. д. де n - позитивне чис...
