уассона) сумою» даного ряду. Прімери.1) Ряд, розглянутий Ейлером:
Тут вже в силу самого визначення призводить до статечному ряду, сума якого при прагне до межі. Значить, число, дійсно, є узагальненою сумою зазначеного в точній встановленому тут сенсі.
Візьмемо більш загальний приклад: тригонометричний ряд
є розбіжним при всіх значеннях
Дійсно, якщо має вигляд, де і - натуральні числа, то для значень, кратних, буде, так що порушене необхідна умова збіжності ряду. Якщо ж відношення ірраціонально, то, раc його в нескінченну безперервну дріб і складаючи відповідні дроби, будемо мати, як відомо,
звідки
Таким чином, для нескінченної кількості значень
, так що.
Це також свідчить про порушення необхідної умови збіжності. Якщо утворити статечної ряд:
(тут буква замінює колишню букву), то його сума при значенні, відмінному від 0, буде
і при прагне до 0. Таким чином, для узагальненою сумою ряду буде 0. якщо, то ряд (2), очевидно має суму, рівну; втім, вираз (3), яке в цьому випадку зводиться до, також має межею.
Теорема Абеля
Теорема . Якщо ряд сходиться і має суму А (у звичайному сенсі), то для сходиться статечної ряд, і його сума прагне до межі А, коли.
Доказ . Почнемо з того, що радіус збіжності ряду не менше 1, так що для ряд, дійсно, сходиться. Ми мали вже тотожність
Віднімемо його почленно з тотожності
Вважаючи, Прийдемо до тотожності
Так як то по довільно заданому знайдеться такий номер, що, лише тільки.
Розіб'ємо суму ряду в правій частині на дві суми
Друга оцінюється відразу і незалежно від:
Що ж стосується першої, то вона прагне до 0 при і при достатній близькості до 1 буде
так що, остаточно,
що й доводить твердження.
Метод середніх арифметичних. Метод Чезаро
Ідея методу в найпростішому його здійсненні належить Фробениуса, але пов'язують його зазвичай з ім'ям Чезаро, який дав методу подальший розвиток.
За частковим сумам даного числового ряду будуються їх послідовні середні арифметичні
Якщо варіанту при має межу А, то це число і називають узагальненої (в сенсі Чезаро) сумою даного ряду.
Повертаючись до ряду Маємо тут
так що. Отримуємо ту ж суму, що і за методом Пуассона-Абеля.
Взаємовідносини між методами Пуассона-Абеля і Чезаро. Теорема Фробеніуса
Почнемо з простого зауваження: якщо ряд підсумовуємо за методом середніх арифметичних до кінцевої сумі А, то необхідно
Дійсно, з
і
випливає, що
а тоді й
що й потрібно було довести.
Теорема Фробеніуса . Якщо ряд підсумовуємо за методом середніх арифметичних до кінцевої сумі А, то одночасно він підсумовуємо також за методом Пуассона-Абеля і притому до тієї ж сумі.
Доказ . Отже, нехай. Зважаючи зробленого спочатку зауваження очевидна збіжність степеневого ряду
для 0
...
