го процесу або об'єкта. Ця модель виражає закономірності економічного процесу в абстрактному вигляді за допомогою математичних співвідношень. Використання математичного моделювання в економіці дозволяє поглибити кількісний економічний аналіз, розширити область економічної інформації, інтенсифікувати економічні розрахунки.
Економіко-математичні методи і моделі застосовують з метою відшукання найкращого рішення, т. е. рішення, оптимального в тому чи іншому сенсі (максимуму або мінімуму). Але задачі математичного програмування застосовують тільки тоді, коли є багато допустимих рішень (два і більше).
Розробку будь-якої моделі оптимізації можна розбити на 5 стадій , частково перекривають один одного і не мають чітких меж:
а) постановка (формулювання) задачі;
б) розробка математичної моделі досліджуваної системи;
в) відшукання рішення за допомогою цієї моделі;
г) перевірка даної моделі і рішення;
д) уточнення рішення на практиці.
У загальному вигляді математична постановка задачі лінійного програмування полягає у визначенні значення цільової функції.
Цільовою функцією називають величину, значення якої кількісно характеризує мета, яку ми хочемо досягти. Це може бути прибуток від виробництва, тоді наша мета зробити її максимальної, або витрати, тоді мета - їх мінімізувати. Математично запис цільової функції представлена ??у формулі (1):
(1)
де Е - міра загальної ефективності; - функція, що задає співвідношення між Е, х, y;
х - величини, які ми можемо змінювати, і від яких залежить цільова функція, називаються змінними рішення. По-іншому ці величини можна назвати невідомими, оскільки ми прагнемо знайти такі їх значення, при яких цільова функція досягає максимуму (або мінімуму); - деякі дійсні числа, або параметри моделі. У ході вирішення вони залишаються незмінними, постійними. Параметри моделі визначають вид і значення цільової функції.
1.2 Методи вирішення завдань лінійного програмування
Завдання планування виробництва
Сенс завдання про використання ресурсів полягає в складанні такого плану продажів, виходячи з наявних запасів, при якому прибуток буде максимальною.
Приклад. Для виготовлення двох видів продукції Р1 і Р2 використовують три види сировини: S1, S2, S3. Запаси сировини, кількість одиниць сировини, що витрачаються на виготовлення одиниці продукції, а так само величина прибутку, одержувана від реалізації одиниці продукції, наведені в таблиці 1.1.
Таблиця 1.1 - Норма витрати сировини
Вид сирьяЗапас сирьяКол-во од. сировини для виготовлення 1 од. продукцііP 1 P 2 S 1 2025S 2 4085S 3 3056Прібиль від одиниці продукції, руб.5040
Необхідно скласти такий план випуску продукції, щоб при її реалізації отримати максимальний прибуток.
Позначимо через х 1 кількість одиниць продукції Р 1, а через х 2 - кількість одиниць продукції Р 2. Тоді цільова функція (прибуток від реалізації) буде записуватися за формулою (2).
(2)
Оскільки кількість сировини, що витрачається на виготовлення продукції, не може перевищувати наявних запасів, отримаємо систему обмежень:
а) 2х 1 + 5х 2? 20;
б) 8х 1 + 5х 2? 40;
в) 5х 1 + 6х 2? 30;
г) х 1? 0;
д) х 2? 0.
Завдання про складанні раціону
Мета завдання про сумішах скласти раціон, що дозволяє забезпечити всіма необхідними поживними елементами, з мінімальними витратами.
Приклад. При відгодівлі кожна тварина щодня має отримувати не менше 9 од. поживної речовини S 1, не менше 8 од. речовини S 2 і не менше 12 од. речовини S 3. Для складання раціону використовують два види корму. Зміст кількості одиниць поживних речовин в 1 кг кожного виду корму і вартість 1 кг корму наведені в таблиці 1.2.
Таблиця 1.2 - Вміст поживних речовин
Живильні веществаКол-во од. поживних речовин в 1 кг кормаКорм 1Корм 2S 1 31S 2 12S 3 16Стоімость 1 кг корму, руб.46
Для складання математичної моделі позначимо через х 1 і х 2 відповідно кількість кілограмів корму 1 і 2 в денному раціоні. Мета даної задачі - добитися мінімальних витрат на денний раціон, тому загальну вартість раціону можна виразити у вигляді лі...
