причому перший доданок є функція парна, а друге - непарна.
2.2 Інтерполяція з кратними вузлами
Іноді потрібно побудувати поліноміальний наближення функції за умови, що відомі не тільки її значення в деяких точках області завдання, а й значення її похідних.
Визначення 1. Алгебраїчний поліном
називається інтерполяційним поліномом Ерміта для функції, заданої на відрізку, по її значеннях, значенням її перших похідних в -ой попарно різних точках (вузлах),, якщо
,
;.
Точки називаються вузлами інтерполяції кратності.
Для визначення полінома (невідоме:) ми маємо умов (рівняння (2)). Єдність розв'язку математичних скінченновимірних завдань зазвичай забезпечується рівністю числа невідомих кількістю накладених на них умов, тому тепер будемо вважати, що.
Теорема 1 . Завдання алгебраїчної інтерполяції (2) при має єдине рішення.
Доказ. Очевидно, що система рівнянь (2) щодо невідомих є лінійною алгебраїчної системою порядку. Отже, вона має єдине рішення в тому і тільки тому випадку, коли однорідна система має тільки нульовий розв'язок (визначник матриці цієї системи відмінний від нуля).
Припустимо, що теорема невірна: система рівнянь (2) або не має рішення, або має декілька рішень. Значить, однорідна система має ненульовий рішення, що визначає ненульовий поліном ступеня і зрозумілу умовам
,;.
Звідси випливає, що є його коренем кратності, а, так як інтерполяційні вузли попарно різні, то
,
т.е. є поліномом ступеня не менше, ніж, отже, наше припущення помилково і теорема правильна.
2.3 Подання полінома Ерміта
Форму Лагранжа уявлення інтерполяційного полінома для випадку простих інтерполяційних вузлів можна узагальнити і на випадок кратних вузлів в наступному вигляді
,
де поліном ступеня визначається умовами
,
; ,
де - символ Кронекера. Приклад . Побудуємо поліном Ерміта прі. Введемо додатковий вузол, відмінний від і, і побудуємо інтерполяційний поліном у формі Лагранжа на вузлах
.
Граничним переходом при отримаємо поліном Ерміта
Інтерполяційний поліном Ерміта можна побудувати і за допомогою граничного переходу в інтерполяційного полінома у формі Ньютона. Побудуємо інтерполяційний поліном у формі Ньютона на вузлах
,
,,
.
Граничним переходом при отримаємо поліном Ерміта
Легко помітити, що в цьому випадку знаходити межу значно простіше, ніж при використанні полінома у формі Лагранжа.
Встановимо законність останнього прийому для побудови інтерполяційного полінома Ерміта.
Припустимо, що кожен вузол інтерполяції кратності замінений набором, що залежить від параметра, при прагненні якого до нуля кожен вузол набору сходитися до.
Будемо вважати, що вузли набору
,,
попарно різні (побудувати таку систему вузлів можна, вибираючи додаткові вузли в досить малих - околицях вихідних інтерполяційних вузлів).
Уявімо інтерполяційний поліном на цій системі вузлів у формі Ньютона
де
Лемма 1 . На системі вузлів існує і кінцевий межа розділених різниць:
де.
Доказ. Очевидно, що межі розділених різниць нульового порядку існують і кінцеві:
,
Припустимо, що існують і кінцеві межі розділених різниць до порядку включно і розглянемо розділену різниця порядку:
,
де чисельник є різницею розділених різниць -го порядку, а значить за припущенням має кінцевий межа.
Якщо, то знаменник прагнути до різниці і потрібний межа існує. Залишилося розглянути випадок, коли знаменник прагнути до нуля. Але в цьому випадку слід, що
і лежить між вузлами, за якими будуватися розділена різниця. Значить, а розділена різниця прагнути до () -ой похідної функції в точці, що і було потрібно довести.
Теорема 2. Інтерполяційний поліном на системі вузлів
сходитися до полиному Ерміта з (2) при.
Доказ. З леми (1) і її докази випливає, що межа інтерполяційного полінома можна представити в наступному вигляді:
Безпосередньою перевіркою легко встановити, що цей граничний поліном задовольняє всім умовам інтерполяції функції в інтерполяційних вузлі в кратності:
.
Граничний поліном задовольняє ум...
