Міністерство освіти і науки РФ
ФГБОУ ВПО «Удмуртська державний університет»
Математичний факультет
Кафедра обчислювальної механіки
Курсова робота на тему:
«Практичне застосування квадратурних формул з вагою Чебишева-Ерміта»
Виконав:
студент 4 курсу, гр. О - 010911 Львова Л. В.
Перевірив:
Старший викладач Тамуліна Т. В.
Іжевськ, 2014р
Зміст
.Основні формули і алгебраїчні властивості
.Прімененіе многочленів Чебишева-Ерміта в квантовій механіці
Література
1. Основні формули і алгебраїчні властивості
Нехай на всій осі задана парна вагова функція.
(1.1)
Диференціюючи цю функцію послідовно, знаходимо
(1.2)
За індукції легко довести, що похідна порядку n від функції (1.1) є твір цієї функції на деякий багаточлен ступеня n. Отже, функція
(1.3)
Є багаточлен ступеня n. Цей многочлен називається стандартизованим многочленом Чебишева-Ерміта (квадратурная формула з вагою Чебишева-Ерміта), а формула (1.3)-формули Родріга.
З формул (1.2) і (1.3) випливає, що старший член многочлена утворюється при диференціюванні множника ехр (), і, отже, старший коефіцієнт цього многочлена дорівнює =, т. е. маємо
(1.4)
Перші сім стандартизованих многочленів Чебишева-Ерміта, обчислених за формулою Родріга (3), мають вигляд
Доведемо, що многочлени ортогональні з ваговою функцією (1) на інтервалі (- ?,?). Для цього розглянемо інтеграл
. (1.5)
Застосовуючи формулу Родріга (3) і інтегруючи частинами, знаходимо
|?-?
Внеінтегральние члени зважаючи на наявність в них експоненціального множника дорівнюють нулю. Отже, застосовуючи цю операцію ще (n - 1) раз, знаходимо послідовно
(1.6)
Якщо m lt; n, то Отже, з (1.6), враховуючи (1.5) отримаємо
.
Цим ортогональность многочленів доведена.
Обчислимо тепер норму многочлена (3). Для цього у формулах (1.5) і (1.6) покладемо m=n. В силу (1.4) маємо
.
Отже, ортонормованій многочлен Чебишева-Ерміта має вигляд
. (1.7)
Старший коефіцієнт цього многочлена в силу (1.7) дорівнює
. (1.8)
З іншого боку, в силу рівності (1.4) многочлен Чебишева-Ерміта з єдиним старшим коефіцієнтом визначається формулою
(1.9)
Далі, доведемо, що функція
(1.10)
є виробляє функцією для многочлена Чебишева-Ерміта. При фіксованому x ця функція аналітична по t. Розглянемо її розкладання у вигляді
(1.11)
Диференціюючи рівність (1.10) по t, при фіксованому x знаходимо
(1.12)
Тут ми замінили змінне диференціювання за формулою xt=u і скористалися рівністю Положиста тепер t=0, з (1.12) отримуємо
| t=0=
Отже, розкладання (1.11) дл функції (1.10) має вигляд
(1.13)
Таким чином, функції (1.10) є виробляє функцією для стандартизованих многочленів Чебишева-Ерміта. Зрозуміло, в розкладанні (1.13) за допомогою рівностей (1.7) і (1.9) можна перейти до ортонормованим многочленів Чебишева-Ерміта з одиничним старшим коефіцієнтом.
У силу аналітичності лівій частині (1.13) змінні x і t можуть приймати і комплексні значення. Підставляючи замість них комплексні змінні z і w, отримаємо
(1.14)
Далі, якщо тимчасово вважати z і w дійсними і замість w підставити iw, то, розділяючи за допомогою формули Ейлера дійсні та уявні частини з обох сторін рівності (1.14), знайдемо два інших роз...
