Курсова робота
Інтерполяція по Ерміта
Зміст
1. Введення
. Теорія
.1 Поліноми Ерміта
.2 Інтерполяція з кратними вузлами
.3 Подання полінома Ерміта
.4 Оцінка похибки інтерполювання
. Лістинг програми
. Виведення програми
. Висновок
. Список використаних джерел
. Додаток
Введення
Теорія наближень вивчає питання про можливість наближеного уявлення одних математичних об'єктів іншими, як правило, більш простої природи, а так само питання про оцінки вносимой при цьому похибки. Значна частина теорії наближення відноситься до наближення одних функцій іншими, проте є і результати, пов'язані абстрактним векторним або топологічним просторам.
У процесі вирішення якоїсь конкретної задачі досить часто буває необхідно використовувати значення f (x) для проміжних значень аргументу. У цьому випадку будують деяку функцію j (x), досить просту для обчислення, яка в заданих точках приймає значення, а в інших точках відрізка [a, b], що належить області визначення f (x), наближено представляє функцію f (x) з тим або іншим ступенем точності, і при вирішенні задачі замість функції f (x) оперують з функцією j (x). Завдання побудови такої функції j (x) називається задачею інтерполяції. Інтерполяційний процес- процес отримання послідовності интерполируют функцій { f n (z)} при необмеженому зростанні числа n умов інтерполяції . Великий внесок у теорію наближень вніс Шарль Ерміта. У даній роботі я розглядаю інтерполяцію по Ерміта.
теорія наближень інтерполяції функція поліном
2. Теорія
2.1 Поліноми Ерміта
Поліноми Ерміта утворюють ортогональну систему ваги
Теорема 1. Поліноми Ерміта визначаються формулою
У Насправді, якщо, то,,
і взагалі
де є поліном ступеня n зі старшим коефіцієнтом, рівним.
Це легко перевіряється методом повної індукції. Значить, функція, визначена формулою (2), дійсно є поліном ступеня n.
Так як
то з формули
випливає, що для будь-якого полінома
(3)
Зокрема, якщо ступінь нижче n, то останній інтеграл дорівнює нулю, звідки і випливає, що поліноми (1) утворюють ортогональну систему ваги.
Якщо в (3) покласти і врахувати, що старший коефіцієнт є, то ми знайдемо, що
. (4)
Таким чином
(5)
Рекурентна формула для поліномів Ерміта така:
(6)
Справді, з (2) методом повної індукції легко переконатися, що до складу входять тільки ті міри, показники яких мають однакову парність з n, звідки ясно, що. Крім того, з (4) і (5) випливає, що.
Твірна функція поліномів Ерміта є
. (7)
Дійсно, якщо, то за формулою Тейлора
. (8)
Але, звідки і слід (6).
Неважко вивести диференціальне рівняння, якому задовольняє. Саме, якщо, то. Беручи звідси похідні порядку, знаходимо
,
але, і тому
У висновку доведемо повноту системи поліномів Ерміта.
Теорема 2. При вазі Ерміта
поліноми утворюють безліч усюди щільне в.
Так як безперервні функції, рівні нулю при досить великих, лежать в всюди щільно, то і досить показати, що саме ці функції можна наблизити поліномами з кожного ступенем точності.
Більше того, не обмежуючи спільності, можна допустити, що розглянуті функції звертаються в нуль в деяких малих інтервалах, так як і такі функції лежать в всюди щільно.
Отже, нехай - безперервна функція, відмінна від нуля тільки при. Припускаючи її парною, матимемо
.
За допомогою підстановки, отримуємо
Функція, будучи безперервної і обмеженою, входить до при лагерровом вазі. Але в цьому просторі поліноми лежать всюди щільно, і за рахунок вибору коефіцієнтів інтеграл можна зробити як завгодно малим.
Якщо ж - функція непарна, то та ж підстановка дає
,
де неперервна і обмежена. Значить, спираючись на щільність поліномів при, ми знову можемо зробити як завгодно малим. Залишається зазначити, що усяка функція може бути представлена ??у вигляді
,
...
