они від прямої. На рис.1 це пряма 1-2. На ній вибирають дві точки (1 і 2) максимально віддалені один від одного.
Рис. 1.1 - Графічна обробка лінійної залежності
Їх координати х1, y1 і х2, y2 підставляють в (1) для отримання двох рівнянь з невідомими а і b:
=ax1 + b;=ax2 + b,
з яких знаходять:
, (2)
Для оцінювання? а і? b будують дві додаткові прямі симетричні відносно прямої 1-2, щоб експериментальні точки, в основному, розташовувалися між ними.
Якщо на графіку є точки, які відстоять від основний прямий 1-2 більш, ніж на утроенное середня відстань точок до прямої (це добре помітно вже при розгляданні графіка - на рис.1 такою точкою є точка А ), то їх відкидають і не використовують при побудові додаткових прямих. Відповідні вимірювання, швидше за все, містять промахи.
Додаткові прямі визначають «коридор похибок» експерименту, всередині якого знаходиться досліджувана лінійна залежність. Граничні випадки ходу цієї залежності вийдуть, якщо провести прямі через протилежні кути «коридору» (прямі 4-5 і 6-7). Тим же способом, що і для основний прямий 1-2, знаходять параметри граничних прямих ai, bi і А2, b2. Оцінки похибок:
,
Може виявитися, що теоретичну залежність між вимірюваними величинами припускають лінійної, а експериментальні точки явно не лягають на пряму. Проведення по ним прямий, як це зроблено на рис 2, неправомірно. Розбіжність між теоретичною н експериментальної залежностями свідчить про наявність систематичних похибок, які повинні бути виявлені і враховані при обробці результатів. Інакше експериментатору залишається тільки констатувати розбіжність моделі з експериментом.
РНС. 1.2 - Приклад необгрунтованої інтерпретації експериментальної залежності як лінійної
Часто лінійна залежність є наближено справедливої ??в обмеженому інтервалі зміни фізичних величин. У такому випадку необхідно визначити межі застосовності лінійної залежності і вказати їх при аналізі результатів експерименту.
1.2 Метод парних точок
У деяких експериментах основний інтерес представляє тільки кутовий коефіцієнт залежності (1). Для оцінювання значення коефіцієнта і визначення його похибки зручний метод парних точок. Він полягає в наступному.
Після нанесення на графік експериментальних точок з них вибирають пари, в яких точки відстоять один від одного приблизно на однакову відстань. Бажано, щоб ця відстань була максимально можливим. Через кожну пару проводять пряму, а потім згідно (2) обчислюють кутові коефіцієнти всіх прямих. З отримав набору коефіцієнтів за правилами обробки даних прямих вимірі визначають середнє значення коефіцієнта і його похибка. Їх приймають за результат вимірювання шуканого параметра залежності (1).
Наприклад, конкретної обробка даних експерименту по вимірюванню опору R ділянки електричного кола. Дано виміряні значення струму I і відповідні їм значення падіння напруги U.
Теоретичний опис досліджуваної залежності дає закон Ома:
=R · I,
де опір R є кутовим коефіцієнтом лінійної залежності, що проходить через початок координат. Значить, для його визначення можна скористатися методом парних точок. Проставляють експериментальні точки на графік (рис 3) і нумерують їх по порядку від 1 до 8. Вибирають пари точок 1-5, 2-6, 3-7, 4-8 і заносять їх координати в табл. 1, яку використовують для проведення необхідних обчислень.
Рис. 1.3 - Залежність падіння напруги від струму в ланцюзі
Таблиця 1.1 - Обробка даних методом парних точок
Обчислюють середнє значення опору:
.
Далі переходять до обчислення дисперсії:
.
Для n і довірчої ймовірності? знаходять табличний коефіцієнт Стьюдента, і домноженіем на нього дисперсії отримують. Остаточний результат:
.
Точність вимірювання опору невелика, що свідчить про наявність значних експериментальних похибок
1.3 Опис методу найменших квадратів
Цей метод є одним з найбільш поширених прийомів статистичної обробки експериментальних даних, що відносяться до різних функціональних залежностям фізичних величин яруг від одного. У тому числі, він застосовний до лінійної залежності і дозволяє отримати достовірні оцінки її параметрів а і b, а також оцінити їх похибки.
Нехай є установка, що працює за принципом «чорного ящика». На вході в дану установку ми можемо встановити вектор вхідних параметрів xi, а на виході з установки виміряти вектор ...
