вихідних параметрів yi, де i=1..n. Число n являє собою число дослідів (рис. 4).
Рис. 1.4 - Зображення досліджуваного об'єкта.
Існування залежності між двома наборами величин xi, і yi, де i=1..n можна визначити за допомогою коефіцієнта парної кореляції rxy, чисельна величина якого обчислюється за формулою:
(3)
Коефіцієнт парної кореляції знаходиться в межах - 1? rxy? +1, тобто або. Чим ближче коефіцієнт парної кореляції знаходиться до одиниці, тим сильніше залежність yi=f (xi). При рівності коефіцієнта парної кореляції нулю залежність відсутня. За числовому значенню коефіцієнта парної кореляції можна зробити припущення про вигляді залежності.
Якщо коефіцієнт парної кореляції за абсолютною величиною дорівнює одиниці, то існує лінійна залежність yi=a · xi + b (рис. 5).
Рис. 1.5 - Вид лінійної залежності
Якщо коефіцієнт парної кореляції позитивний, то зі збільшенням аргументу, збільшується значення функції (рис. 6).
Рис. 1.6 - Зі збільшенням аргументу збільшується значення функції
При негативному коефіцієнті парної кореляції зі збільшенням аргументу, зменшується значення функції (рис. 7).
програмний комплекс скріншот Еxcel
Рис. 1.7 - Зі збільшенням аргументу зменшується значення функції
У разі існування залежності між вхідними і вихідними параметрами об'єкта дослідження шукається рівняння регресії. Для пошуку рівняння регресії використовується метод найменших квадратів.
Суть методу найменших квадратів полягає в наступному. Передбачається, що залежність між величинами є лінійною: yi=a · xi + b і сума квадратів відхилень розрахункових значень від експериментальних - повинна бути мінімальною.
Розрахункове значення запишемо в наступному вигляді:
(4)
Суму квадратів відхилень розрахункових значень від експериментальних запишемо у вигляді:
(5)
У вираз (5) підставимо рівняння регресії (4) і отримаємо:
(6)
Відомо, що екстремум функції досягається тоді, коли перша похідна дорівнює нулю. У нашому випадку є два невідомих: a і b. За даними коефіцієнтам візьмемо дві приватні похідні:
(7)
Розділимо обидва рівняння системи (5) на - 2. В результаті, розкривши дужки, одержимо систему з двох лінійних рівнянь з двома невідомими a і b:
;
(8)
Дана система може бути вирішена за допомогою методу Крамера. Головний визначник системи? дорівнює:
Коефіцієнти при невідомому a і b замінюємо стовпцем вільних членів, отримуємо визначники:
і
Обчислюємо коефіцієнти за правилом Крамера:
(9)
Таким чином, отримані коефіцієнти рівняння регресії ypi=a · xi + b.
Рівняння регресії (4) може адекватно описувати процес тільки в інтервалі експериментальних значень, за допомогою яких обчислювалися коефіцієнти рівняння регресії:
.
Для оцінки адекватності моделі, на практиці можуть бути використані наступні оцінки: кореляційне відношення? і середня відносна помилка?:
, (10)
де - середнє значення вихідного параметра.
(11)
В даний час існує ряд нелінійних залежностей, які можуть бути приведені до лінійного вигляду yi=a · xi + b. Операція приведення нелінійної залежності до лінійного вигляду називається лінеаризацією.
Варіант 10. Визначити початкову швидкість рахунку I0 і період напіврозпаду T1/2 радіоактивного елементу по залежності швидкості рахунку від часу:
, (12)
Наведемо нелінійне рівняння (12) до лінійного вигляду. Прологаріфміруем обидві частини рівняння:
Проведемо заміну змінних:
,
в результаті одержимо рівняння yi=b + a · xi або yi=a · xi + b.
Таким чином, для того, щоб знайти предекспоненціальний множник - початкову швидкість рахунку I0 і період напіврозпаду T1/2 радіоактивного елементу, необхідно виконати наступні дії:
1. yi=ln (Ii), xi =? i;
. , (13)
Крім цього, слід обчислити среднеквадратические помилки a і b.
Знаходимо дисперсію:
(14)
Далі знаходимо дисперсію параметра a:
(15)
Після цього знаходимо дисперсію параметра b:
(16)
Згідно ГОСТ Р 8.736 довірча ймовірність P=0,95. При такій ймовірності P і кількості вимірювань n=7 кількість ступенів свободи f=6, значить коефіцієнт Стьюдента (таблиця) дорівнює t=+2,...
