ях параметра, що одержали назву власних значень; в даному випадку таким параметром є енергія Е з власними значеннями E1, E2, E3, ....
Відповідні цим власним значенням рішення хвильового рівняння? 1,? 2,? 3, ... називаються власними функціями.
Можливі значення енергії утворюють так званий енергетичний спектр. Нижче ми побачимо, що якщо рух частки не обмежене в просторі, то її енергетичний спектр буде безперервним. Якщо ж положення частки в просторі обмежена, то енергетичний спектр буде дискретним.
Покажемо, що власні функції? n будуть задовольняти умові ортонормірованності
, (11)
де - символ Кронекера - Вейєрштрасса, рівний одиниці при n =n (умова нормування) і рівний нулю при n ? n (умова ортогональності) [4]. Щоб показати це, напишемо рівняння Шредінгера для і,:
, (12)
. (13)
Множачи перше з них на, а друге на (-) і складаючи потім перше з другим, отримуємо:
. (14)
Звідси, враховуючи, що, де, після інтегрування (14) по всьому простору, знаходимо
. (15)
Беручи до уваги прагнення? - функції на нескінченності до нуля, отримуємо:, тобто замість (15) маємо:
. (16)
Припустимо тепер, що? (т. е. n '? n) тоді згідно (16) повинно виконуватися рівність (умова ортогональності)
. (17)
Якщо ж n '= n (або =), то останній інтеграл відмінний від нуля; ми можемо вимагати, щоб він дорівнював одиниці (умова нормування)
. (18)
Таким чином, власні? 1,? 2,? 3, ..., функції відповідні власним значенням E1, E2, E3, ..., дійсно мають властивість ортонормірованності (11), що є одним з найважливіших властивостей власних функцій.
Примітка
Умови ортонормірованності (17) і (18) отримані в припущенні, що кожному власному значенню енергії відповідає тільки одне власне значення хвильової функції? n. Цей випадок носить назву невиродженого.
При наявності ж виродження, коли одному й тому ж значенню енергії Еn відповідають декілька хвильових функцій (наприклад, дві)? n і? 'n, вони можуть виявитися і неортогональної один до одного, тобто
.
Тоді складемо з них такі лінійні комбінації (в даному випадку дві), що нові хвильові функції будуть ортогональними один до одного.
Наприклад, у випадку речовинності величини S такими комбінаціями є наступні
,
Тому за наявності виродження ми можемо завжди вибрати хвильові функції таким чином, що умова ортонормірованності прийме вигляд
3. Рух частинки в потенційній ямі
. 1 Скачек потенціалу. Відображення та проходження хвиль
Найпростішим прикладом прямокутного потенціалу є різкий стрибок потенціалу (n=2), представлений на рис. 1.
Будемо вважати для визначеності, що U2 gt; U1.
Можливі два випадки:
a) U2 gt; ? gt; U1, де?- Енергія; U - потенціал [2]. Загальне рішення має осциляторний характер в області I (x gt; 0) і експонентний характер в області II (x lt; 0). Щоб це рішення могло з'явитися прийнятною власної функцією необхідно, щоб в області II воно було експоненціально затухаючим. Завжди існує одне й тільки одне рішення, що задовольняє цій умові. Кожне значення? в зазначеному інтервалі є невиродженим власним значенням: спектр енергії безперервний невироджений. Загальне рішення має вигляд:
(19)
Умови безперервності визначають y з точністю до постійної. Замість того, щоб розглядати безперервність функції та її похідної, зручніше зажадати безперервності функції та її логарифмічною похідною у '/ у. Безперервність логарифмічною похідною визначає фазу; ? визначається з точністю до доданка n?, тому що заміна? на? +? еквівалентна заміні знака амплітуди А1. Приймемо для? значення
, (19a)
причому arctg висловлює значення цієї функції в інтервалі (-?/2, +?/2).
Безперервність функції визначає ставлення А2/А1 саме
. (19б)
б)? gt; U2. Загальне рішення має осциляторний характер у всьому просторі і є тому допустимої власної функцією. Кожному значенню? відпові...
