дають дві лінійно незалежні власні функції; спектр власних значень безперервний дворазово вироджений.
Утворюємо власну функцію, поведінка якої в області II має вигляд. Вона визначається з точністю до постійної, яку ми виберемо так, щоб коефіцієнт при члені в області I був дорівнює одиниці. Інакше кажучи
(20)
Постійні (взагалі кажучи, комплексні) R і S визначаються умовами безперервності в точці x=0. Безперервність логарифмічною похідною дає
, (20a)
а безперервність самої функції -
(20б)
Комплексно сполучена функція є власна функція, лінійно незалежна с. Усі власні функції, відповідні власним значенням? , Можуть бути записані як лінійні комбінації і.
Порівняємо отримані результати з тими, які дає класична механіка. Рух класичної частинки в розглянутому потенціалі різному у випадках а) і б).
У випадку а) класичне рух відповідає руху частки з енергією?. Частинка, приходячи зі + ?, пробігає позитивну піввісь з постійною швидкістю в напрямку зменшення x, потім пружно відбивається від точки x=0 і йде назад з тією ж швидкістю в нескінченність. Щоб описати аналогічний рух в хвильової механіки, слід побудувати хвильовий пакет з хвиль типу з близькими енергіями. Замість функції (19) зручніше використовувати хвилю
(21)
одержувану, якщо розділити на; ми пишемо індекс?, щоб вказати, що це власна функція, відповідна власному значенню?. Розглянемо хвильової пакет
. (22)
Функція є досить регулярна дійсна функція, що має різким максимумом при =. З метою спрощення приймемо, крім того, що звертається в нуль при gt; U2 - U1. Таким чином, функція? (x, t) утворена суперпозицією власних функцій випадку а) з характерним множником, враховує залежність від часу. По самому побудові? є рішенням рівняння Шредінгера, що залежить від часу.
В області I рішення? (x, t) є суперпозиція двох величин: падаючого хвильового пакету
, (23а)
центр якого переміщається зі швидкістю в негативному напрямку і досягає точки х=0 в момент t=0, і відбитого хвильового пакету
, (23б)
центр якого переміщається зі швидкістю в протилежному напрямку і покидає початок координат в момент
(24)
який відрізняється від моменту t=0 приходу падаючого хвильового пакету в точку х=0. Рух центру хвильового пакету, таким чином, майже ідентично руху класичної частинки. Єдина відмінність полягає в запізнюванні? , Яке виявляє центр пакету при відбитті від точки розриву безперервності потенціалу х=0, тоді як відображення класичної частинки відбувається миттєво. Зауважимо з цього приводу, що сам розгляд руху центру пакету має сенс тільки, якщо форма пакета не вельми змінюється за час руху. Ця умова виконується у разі падаючого хвильового пакету, поки його центр відстоїть від початку координат на відстані, більшій, ніж ширина пакету? х. Щоб той же умова виконувалася для відбитого хвильового пакету необхідно, крім того, щоб ширина? K максимуму функції f була досить малою. При цьому фаза? не змінюється помітно в області, що дає найбільший внесок в інтеграл (22), якщо. Оскільки просторові розміри? х пакету порядку 1 /? k, цю умову можна записати у вигляді
. (25)
Отже,. Пакет хвиль настільки широкий, що час, за який він перетинає весь деяку точку на осі, значно більше запізнювання, викликаного відображенням.
Крім запізнювання? є ще одна відмінність між рухом класичної частинки і відображенням квантового хвильового пакета. Хвиля? не завжди дорівнює нулю в області II. Дослідження, аналогічне вищенаведеного, показує, що? дорівнює добутку фактора на величину, приймаючу помітні значення в проміжок часу, близький моменту цей проміжок можна розглядати як час зіткнення з потенційною стінкою в точці х=0. Таким чином, у цей момент часу існує відмінна від нуля ймовірність знайти частинку в області II, у той час як класична частинка ніколи не проникає в цю область.
Розглянемо тепер випадок б). У цьому випадку є два можливих класичних руху, що відповідають одному значенню енергії. В одному частинка пробігає всю вісь від +? до -? , Причому її швидкість, постійна і рівна в області I, змінюється стрибком від? 1 до в точці розриву безперервності потенціалу; надалі частка рухається зі швидкістю? 1 до - ?.
Інше можливе рух є в точності протилежний рух частинки, пробігають вісь х в пози...
