зводило до дивних результатів, на подобу описаних вище (Броунівський рух, ціни на акції).
Ці дивовижні фігури стали широко відомі в 70-х роках минулого століття завдяки Бенуа Мандельброт, який працював тоді математичним аналітиком у фірмі IBM. Зіставляючи факти, він прийшов до відкриття нового напряму в математиці - фрактальної геометрії. Він придумав і саме слово «фрактал», яке утворене від латинського fractus - дробовий ».
Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом в 1977 році книги Мандельброта «Фрактальна геометрія природи». Фрактальна геометрія - це один з розділів теорії хаосу. Фракталами називають нескінченно самоподібні фігури, кожен фрагмент яких повторюється при зменшенні масштабу. Масштабна інваріантність, спостережувана під фракталах, може бути або точної, або наближеною. Самоподобна безліч - безліч, представимое у вигляді об'єднання однакових непересічних підмножин подібних вихідного безлічі.
Класифікації фракталів
фрактал кох Серпінський
Існує безліч класифікацій фракталів. В основному фрактали ділять на геометричні, алгебраїчні та стохастичні. Однак існують і інші класифікації:
· Рукотворні і природні. До рукотворним відносяться ті фрактали, які були придумані вченими, вони при будь-якому масштабі володіють фрактальними властивостями. На природні фрактали накладається обмеження на область існування - тобто максимальний і мінімальний розмір, при яких в об'єкта спостерігаються фрактальні властивості.
· Детерміновані (алгебраїчні і геометричні) і недетермінірованние (стохастичні).
Геометричні фрактали застосовуються для отримання зображень дерев, кущів, берегових ліній і т. д. Алгебраїчні та стохастичні - при побудові ландшафтів, поверхні морів, карт розмальовки, моделей біологічних об'єктів та ін.
Основні властивості фракталів:
· Вони мають тонку структуру, тобто містять довільно малі масштаби.
· Вони занадто нерегулярні, щоб бути описаними на традиційному геометричному мовою.
· Вони мають деяку форму самоподібності, допускаючи наближену.
· Вони мають дробову «фрактальну» розмірність, звану також розмірністю Маньківського. (для самоподібних множин, типу канторова множина)
Геометричні фрактали.
Історія фракталів почалася з геометричних фракталів, які досліджувалися математиками в XIX столітті.
Фрактали цього класу самі наочні. У двомірному випадку їх отримують за допомогою деякої ламаної (або поверхні в тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожен з відрізків, складових ламану, замінюється на ламану - генератор, у відповідному масштабі. У результаті нескінченного повторення цієї процедури (а точніше, при перехід до межі) виходить фрактальна крива. При видимій складності отриманої кривої, її загальний вигляд задається тільки формою генератора.
Прикладами таких кривих служать:
· крива дракона;
· крива Коха - несамопересекающаяся безперервна крива нескінченної довжини, яка не має дотичній ні в одній точці;
· крива Леві;
· крива Маньківського;
· крива Пеано - безперервна крива, що проходить через всі точки квадрата.
До геометричним фракталам також відносять фрактали, одержувані схожими процедурами, наприклад:
· безліч Кантора - ніде не щільне незліченну вчинене безліч. Модифікувавши процедуру, можна також отримати ніде не щільна множина позитивної довжини.
· трикутник Серпінського - аналог безлічі Кантора на площині.
· килимок Серпінського - аналог безлічі Кантора на площині.
· губка Менгера - аналог безлічі Кантора в тривимірному просторі.
· дерево Піфагора.
У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідно при отриманні зображень дерев, кущів, берегової лінії. Двомірні геометричні фрактали використовуються для створення об'ємних текстур (малюнка на поверхні об'єкта).
Сніжинка Коха.
Рис 2. Побудова триадной кривої Коха
З цих геометричних фракталів дуже цікавим і досить знаменитим є крива Коха (сніжинка Коха). Будується вона на основі рівностороннього трикутника, кожна сторона якого одиничної довжини. На рис.2 показана одна сторона трикутника (одна ланка) - це 0-е покоління кривої Коха. Далі кожна ланка (в нульовому поколінні один відрізок) замінюється на утворюючий елемент, позначений на рис.2 ...
