через n=1. У результаті такої заміни виходить наступне покоління кривої Коха. У першому поколінні - це крива з чотирьох прямолінійних ланок, кожне завдовжки по 1/3 вихідної. Для отримання третього покоління проробляються ті ж дії - кожна ланка замінюється на зменшений утворюючий елемент. Отже, для отримання кожного наступного покоління, всі ланки попереднього покоління необхідно замінити зменшеним утворюючим елементом. Таким чином, з кожною итерацией довжина кривої збільшується на третину. Крива n-го покоління при будь-якому кінцевому n називається предфракталом. На рис.1 представлені п'ять поколінь кривої. При n прагне до нескінченності крива Коха стає фрактальним об'єктом, який покриває обмежену площу (рис. 3).
Рис. 3. Трикутник Серпінського
Для побудови трикутника Серпінського (рис.4) з центру трикутника подумки виріжемо шматок трикутної форми, який своїми вершинами буде впиратися в середини сторін вихідного трикутника. Повторимо цю ж процедуру для трьох утворилися трикутників (за винятком центрального) і так до нескінченності. Якщо ми тепер візьмемо будь з утворених трикутників і збільшимо його - отримаємо точну копію цілого. У даному випадку ми маємо справу з повним самоподібності.
Рис. 4. Драконова ламана
Драконова ламана відноситься до класу самоподібних рекурсивно породжуваних геометричних структур. Нехай утворюючим елементом будуть дві рівних відрізка, з'єднаних під прямим кутом. У нульовому поколінні замінимо одиничний відрізок на цей утворюючий елемент так, щоб кут був зверху. Можна сказати, що при такій заміні відбувається зміщення середини ланки.
Рис 5. Побудова дракона Хартера-Хейтуея
При побудові наступних поколінь виконується правило: найперше зліва ланка замінюється на утворюючий елемент так, щоб середина ланки зміщувалася вліво від напрямку руху, а при заміні наступних ланок, напрямку зсуву середин відрізків повинні чергуватися (кожний перший кут виявляється вивернутим назовні, а кожен другий - всередину). На малюнку проілюстрований алгоритм побудови драконовою ламаної і зображений цілком дорослий дракон десятого порядку. Гранична фрактальна крива (при n прагне до нескінченності) називається драконом Хартера-Хейтуея.
Алгебраїчні фрактали.
Для побудови алгебраїчних фракталів використовуються ітерації нелінійних відображень, що задаються простими алгебраїчними формулами. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна користуватися термінологією теорії цих систем: фазовий портрет, усталений процес, аттрактор і т.д.
Найбільш вивчений випадок, коли динамічна система задається ітераціями многочлена або голоморфної функції комплексної змінної на площині. Перші дослідження в цій області відносяться до початку XX століття і пов'язані з іменами Фату і Жюліа.
Відомо, що нелінійні динамічні системи володіють декількома стійкими станами. Той стан, в якому опинилася динамічна система після деякого числа ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожне стійкий стан (або як кажуть - аттрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить в аналізовані кінцеві стани. Таким чином, фазовий простір системи розбивається на області тяжіння атракторів. Якщо фазовим є двомірний простір, то, фарбуючи області притягання різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Міняючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури.
Приклади алгебраїчних фракталів:
· безліч Мандельброта;
· безліч Жюліа;
· басейни Ньютона;
· біоморфи lt; # 10 src= doc_zip6.jpg / gt ;. Для усіх точок квадратної або прямокутної області на комплексній площині обчислюємо досить велика кількість раз zi + 1=F (zi), щоразу знаходячи абсолютне значення z. При цьому значення функції для різних точок комплексної площині може мати різну поведінку:
· З плином часу | z | прямує до нескінченності;
· | z | прагне до 0;
· | z | приймає декілька фіксованих значень і не виходить за їх межі;
· Поведінка | z | хаотично, без будь-яких тенденцій.
Множини значень z0, для яких послідовність демонструє один конкретний тип поведінки, а також безлічі точок біфуркації між різними типами, часто володіють фрактальними властивостями.
Так, безліч Жюліа (рис.6) - безліч точок біфуркації для мно...
