..., (15) коштують
різні знаки (як при доказі В«Твердження 1В» в частини 2). Інтуїція підказує, що е
та процедура знову нас призведе до відомим значенням b і c :
або (з ),
Або (з), або
b і
c < i> - парні чого не повинно бути, (подібно доведенню частини 2 В«Твердження 1 В»). p> Для підтвердження сказаного розглянемо
докладно тільки
частина Умови 1 . p>
Умова 1 ( продовження
). Випадок 1.
(12)
(13 ')
(14)
(15),
які також є рішеннями рівняння (11)
.
Тоді сума має вигляд:
В
Враховуючи (10) та (15), можна отримати різницю:
=> .
Висловимо з (17) і (16):
=> p> => . br/>
За умовою повинні бути взаємно простими цілими числами , тому їх загальний множник.
Т.ч., мають вигляд:
, , А їх сума. p> Т.к. з (4) c 2 + b 2 = 2 ОІ , то =>.
З (15) з урахуванням (20) висловимо:
, тобто . p> Т.ч.,,, тобто
В
,
вираження яких, з урахуванням (24), повністю збігаються з (6) і (7), тобто з рівняннями
В
Тепер, з урахуванням (13 ') і (14), знайдемо суму:
тому , Тобто . br/>
(Тут чергування В«ПлюсаВ» і В«мінусаВ» таке ж, як і у одиниці в (20 ). У наступних діях ми це врахуємо).
Тепер, враховуючи (23), отримаємо значення для b 2 :
, т.к. з (20) виходить
(20 ').
Отже, (28), що для цілих чисел неприйнятно .
Цей випадок нас не цікавить.
********
Проте продовжимо, т.к. результат , який ми отримаємо, надалі нам стане в нагоді .
Враховуючи (26), отримаємо
=>В . br/>
Тепер, з урахуванням (29), можна отримати остаточне вираз для з 2 (з (25)):
, тобто . br/>
Таким чином, рівняння (11), рішеннями якого є (12), (13 ') , (14), (15), в кінцевому рахунку має наступні рішення:
,,
(28) , ,
де - взаємно прості непарні цілі числа.
*******
Випадок 2
Неважко здогадатися, що якби у рівняння (11) були б рішення, протилежні за знаком з рішеннями (12), (13 '), (14), (15), ми б отримали, в кінцевому підсумку, рішення, протилежні за знаком рішенням (30), (28), (29) і (24), тобто
(30 '), => c = (30 '), (29 ')
(28 '), => b = 1 (28 '), (24'), де
- взаємно прості непарні цілі числа . p>
Випадок 3
В
(12)
(13 ')
(14)
(15 ') , br/>
які також є рішеннями рівняння
(11).
Тоді сума має вигляд:
В
Враховуючи (10) та (15), можна отримати різницю:
- => . p> Висловимо з (31) і (16):
=> (32)
=> (33). br/>
За умовою повинні бути взаємно простими цілими непарними числами , тому їх загальний множник .
Т.ч., мають вигляд :
(34), (35), а їх сума. br/>
Т.к. з (4) c 2 + b 2 = 2 ОІ , то й.
З (15 ') з урахуванням (20) висловимо :
, тобто (24 ') .
Т.ч.,,,
де, тобто p>, p>, br/>
вираження яких, з урахуванням (24 '), повністю збігаються з (6) і (7), т. е. з рівняннями
В
Тепер, з урахуванням (13 ') і (14), знайдемо суму:
В
тому , Тобто . br/>
(Тут чергування В«плюсаВ» і В«мінусаВ» таке ж, як і у одиниці в (20 ). У наступних діях ми це врахуємо.)
Тепер, враховуючи (23), отримаємо значення для b 2 :
, тому що з (20) виходить
.
Отже, (28), що для цілих чисел неприйнятно .
Цей випадок нас не цікавить.
*******
Проте продовж...
