Y . Так як простір Y хаусдорфово, то існують округа Про y 1 точки y 1 і Про y 2 точки y 2 такі, що
Про y 1 Про y 2 = Г†. {*} p> Відображення f і g - безперервні, тому безлічі f -1 ( Oy 1 ), g -1 ( Oy 2 ) - відкриті в Y і x ГЋ f -1 ( Oy 1 ), x ГЋ g -1 ( Oy 2 ). Розглянемо околиця Ох = f -1 ( Oy 1 ) ; g -1 ( Oy 2 ) точки х . Припустимо, що Ох Т в‰ Г†, тобто існує така точка х 1 ГЋ Ох , що Але точка y повинна належати як околиці Oy 1 , так і округа Oy 2 , що суперечить умові {*}. Гї
Лемма 2.5. Якщо простору Х і Y компактні, то і їх твір X ' Y є компактним безліччю.
Доказ. Нехай х - довільна фіксована точка простору Х , і нехай О© =В - Відкрите покриття простору X ' Y . Розглянемо шар
= Y '{ x }.
Він гомеоморфен зв'язков простору Y , тому - компактне безліч. Тоді з відкритого покриття
О© ( х ) = ГЌ О© ,
(де U a ( x ) безліч, що містить деякі точки шару над точкою x ) шару можна вибрати кінцеве відкрите підпокриття П‰ ( х ) =. Об'єднання
U ( x ) = ( x ) (**)
є відкрите безліч, що містить шар, і pr X - замкнуте відображення (в силу компактності простору Y і леми 2.3). Отже, існує така околиця Ох точки х , що ГЌ U ( x ). Сімейство { Про x : x ГЋ X } утворює відкрите покриття простору X . У силу компактності X , знайдеться кінцеве підпокриття { Ox i : i = 1 , .., k }. Тоді сімейство П‰ = утворює кінцеве підпокриття простору X ' Y . Гї
Теорема 2.10. Нехай f : X В® Y і g : Z В® Y - зв'язкові відображення компактних просторів X і Z в хаусдорфово простір Y. Тоді твір h = f ' g також є зв'язковим відображенням компактного простору Т.
Доказ. За визначенням пошарового твори, (, - безперервні відображення в хаусдорфово простір Y ) і. Тоді, по лемі 2.4, безліч Т є замкн...
