утим в просторі Х ' Z , яке, по лемі 2.5, є компактним. Отже, безліч Т компактно (по теоремі 1.7), і його образ h ( T ) при безперервному відображенні h замкнутий у Y (в силу теорем 1.9 і 1.8). Звідси, відображення h є замкнутим. p> Таким чином, в силу теорем 2.9 і 2.3, відображення h = f ' g є зв'язковим. €
Наступна теорема вказує, в якому випадку відображення можуть бути паралельними простору Х . Для її докази знадобиться
Лемма 2.6. Якщо простору Х і Y хаусдорфових, то і їх твір X ' Y є хаусдорфовим безліччю.
Доказ. Нехай z 1 і z 2 - довільні фіксовані точки простору X ' Y . Розглянемо точки x 1 = pr X ( z < sub> 1 ), x 2 = pr X ( z 2 ) і y 1 = pr Y ( z 1 ), y 2 = pr Y ( z 2 ) просторів X і Y відповідно. Точки z 1 і z 2 різні, отже, x 1 В№ x 2 або y 1 В№ y 2 . Нехай y 1 В№ y 2 . Тоді, за визначенням хаусдорфова простору, в Y існують такі округа Oy 1 і Oy 2 точок y 1 і y 2 відповідно, що Oy 1 Oy < sub> 2 = Г†. Проекція pr Y є безперервним відображенням, тому безлічі і - відкриті в X ' Y і непересічні. Причому, z 1 ГЋ і z 2 ГЋ. Отже, простір X ' Y - хаусдорфово за визначенням. p> Теорема 2.11. Безперервне відображення f : X В® Y компактного хаусдорфова простору Х в хаусдорфово простір Y є замкнуто паралельним простору Х.
Доказ. Розглянемо пошарове твір h = = F ' i : T В® Y відображень < i> f : X В® Y і i : Y В® ; Y , де i - тотожне відображення і безліч Т = {( x ; y ): f pr X = i pr Y = pr Y }. За лемі 2.4, безліч Т замкнуто в X ' Y . Нехай ( x 1 ; y 1 ) ГЋ T - довільна фіксована точка. Тоді pr X ( x 1 ; y 1 ). Звідси, для точок ( x 1 ; y
