>
Надалі стало ясним, однак, що кінцівку груп є занадто сильним і не завжди природним обмеженням. Особливо важливо, що це обмеження дуже скоро призвело до конфлікту з потребами сусідніх відділів математики: різні частини геометрії, теорія автоморфних функцій, топологія все частіше і частіше стали зустрічатися з алгебраїчними утвореннями, подібними групами, але нескінченними, і стали пред'являти до теорії груп вимоги, задовольняти які теорія кінцевих груп була не в змозі. Разом з тим з точки зору самої алгебри, частиною якої теорія груп є, навряд чи можна було вважати нормальним положення, при якому залишалися за межами теорії такі найпростіші і найважливіші групи, як, наприклад, адитивна група цілих чисел. Кінцева група повинна була тому стати частиною загального поняття групи, а теорія кінцевих груп - главою в загальній теорії В«нескінченнихВ» (тобто не обов'язково кінцевих) груп. p align="justify"> Вперше у світовій літературі виклад основ теорії груп без припущення, що розглянуті групи кінцеві, було Зроблено в книзі О. Ю. Шмідта В«Абстрактна теорія групВ» (Київ, 1916). Широке розвиток загальної теорії груп почалося , однак, дещо пізніше і було пов'язане з тією радикальною перебудовою і тим переходом на теоретико-множинні основи, які вчинила алгебра в 20-х роках нашого століття (Е. Нетер). Зокрема, саме звідси прийшли в теорію груп такі нові для неї поняття, як системи операторів та умови обриву ланцюжків. p align="justify"> Надалі робота в загальній теорії груп ставала все більш бурхливою і різнобічної і до теперішнього часу ця частина математики перетворилася на широку і багату змістом науку, що займає одне з перших місць у сучасній алгебрі. Зрозуміло, що цей розвиток загальної теорії груп не могло ігнорувати успіхи, вже досягнуті в теорії кінцевих груп. Навпаки, багато чого при цьому розвитку виникало з відповідних частин теорії кінцевих груп, причому керівним було прагнення замінити кінцівку групи тими природними обмеженнями, при яких дана теорема або дана теорія ще залишаються справедливими і за межами яких вони втрачають силу. Дуже часто, втім, питання, простий і остаточно вирішене у разі кінцевих груп, перетворювався на широко розвинену і далеку від завершення теорію; така, наприклад, теорія абелевих груп, одна з найважливіших елементів сучасної теорії груп. Разом з тим виникли і деякі нові відділи, істотним чином пов'язані з розглядом нескінченних груп, - теорія вільних груп, теорія вільних творів. Нарешті, в деяких випадках - насамперед у питанні про завдання групи визначальними співвідношеннями - вперше вдалося досягти чіткості й строгості, недоступних теорії груп на попередньому етапі її розвитку. br/>
4.4 Теорія уявлень груп
Для початку дамо найбільш просте визначення подання групи:
Представлення групи (точніше, лінійне уявлення групи) - гомоморфізм заданої групи в групу невироджених лінійних перетворень векторн...
