ого простору.
Розділ математики, який вивчає подання груп, називається теорією уявлень (груп). Представлення можна розуміти як запис групи за допомогою матриць або перетворень лінійного простору. Сенс використання уявлень груп полягає в тому, що завдання з теорії груп зводяться до більш наочним задачах з лінійної алгебри. Цим пояснюється велика роль теорії зображень в різних питаннях алгебри та інших розділів математики. Наприклад, одномірні уявлення симетричної групи Sn і знакозмінної групи An відіграють велику роль при доказі неможливості вирішення в радикалах алгебраїчного рівняння ступеня вище 4. p align="justify"> У квантовій механіці важливу роль відіграють безконечномірні (в яких векторний простір - Гільбертовий) подання груп (в першу чергу, групи Лоренца).
Більш формалізовано визначення подання групи виглядає так:
Нехай - задана група і - векторний простір. Тоді подання групи - це відображення, яке кожному ставить у відповідність невироджене лінійне перетворення, причому виконуються наступні властивості
.
Приклади уявлень груп:
) Унітарна група U (1) може бути представлена ​​як група обертань двовимірного простору навколо центру.
) Представлення симетричної групи може бути отримано наступним чином. Виберемо у векторному просторі розмірності базис. Для кожної перестановки визначимо лінійне перетворення переводить базисний вектор у базисний вектор, де. Таким чином виходить n-мірне подання групи. p> У більш широкому сенсі, під поданням групи може розумітися гомоморфізм групи в групу всіх оборотних перетворень деякої безлічі X. Наприклад: Проективне подання групи - гомоморфізм групи в групу проектних перетворень проективного простору. p> Теорія уявлень груп сходить до робіт Ейлера, А.М. Лежандра, Гаусса, в яких з'явилося поняття характеру комутативної групи. В кінці 18 століття і на початку 19 століття роботами Г. Фробеніуса, І. Шура (I. Schur), У. Бернсайда, Ф.Е. Моліна, Р. Брауера були закладені основи теорії (скінченновимірних) лінійних уявлень (і теорії характерів) кінцевих груп, в якій разом з В«абстрактноїВ» групою G розглядаються всі її гомоморфізм в В«конкретніВ» лінійні групи GLn (K) над полями K (або , що теж саме, модулі над груповий алгеброю KG групи G над полем K). На подальший розвиток цього напрямку теорії груп зробила сильний вплив монографія Г. Вейля (H.Weyl, 1939), підвівши підсумок цього періоду. p> Дж. фон Нейман (J. von Neumann), Г.Вейль, Е.Картан (EJCartan) заклали основи теорії уявлень груп Лі і топологічних груп. Теорія двоїстості Л.С.Понтрягина для характерів локально компактних абелевих груп з'явилася наріжним каменем у підставі топологічної алгебри. br/>
4.5 Безперервні, нескінченні групи, групи Лі
У роботах Жордана ще не з'явилося загальне поняття групи в тому вигляді, в якому воно існує зараз. Розглядаючи групи, він вважав їх кінцевими. Про групи перетворень і...
