енную систему лінійних алгебраїчних рівнянь (одну або декілька). Масштабованість додатків, що реалізують такі математичні моделі, визначається в першу чергу масштабованість чисельних методів, використовуваних для вирішення систем рівнянь. Зважаючи великого розміру систем рівнянь в загальному випадку єдиною альтернативою для їх вирішення є використання ітераційних методів. Найбільш широко поширений в даний час підхід передбачає використання одного з ітераційних методів підпростору Крилова (CG, BiCGStab, GMRES і пр.) в поєднанні з предобусловлівателем. До популярних предобусловлівателям можна віднести ітераційні методи типу Якобі (метод Зейделя, SSOR і пр.), методи неповної факторизації (метод неповного розкладання Холецкого, часткове LU-розкладання і їх модифікації) і многосеточние методи. Вибір певного методу не в останню чергу залежить і від вихідного диференціального рівняння, за яким була побудована система рівнянь. Стосовно до нестисливим і слабосжімаемим течіям основні обчислювальні складності виникають при вирішенні еліптичних рівнянь для тиску. У цьому випадку в якості предобусловлівателей довгий час застосовувалися методи неповної факторизації. Проте перенесення цих методів на сучасні багатопроцесорні обчислювальні системи виявляється складним завданням. Будучи досить простим методом з точки зору реалізації в послідовному варіанті, ефективна паралельна реалізація цих методів надзвичайно трудомістка і породжує ряд принципових складнощів.
Так, наприклад, ефективність предобусловліванія погіршується в міру збільшення розміру системи рівнянь, а також істотно залежить від порядку перенумерациі елементів матриці. Найбільш перспективними для вирішення великих завдань на масштабах десятків тисяч ядер представляються многосеточние методи. Якість предобусловліванія при використанні цих методів слабо залежить від розміру задачі, дозволяючи домогтися практично лінійної залежності часу рішення від розміру задачі. Аналогічна ситуація спостерігається і при збільшенні кількості обчислювальних процесів: кількість ітерацій до виконання умови збіжності ітераційного процесу при збільшенні кількості обчислювальних процесів залишається практично постійним. Це дозволяє досягати не тільки хороших результатів масштабованості матричних решателей, коли зазвичай мова йде про масштабованості часу розрахунку фіксованого кількості ітерацій, а й реального прискорення часу рішення системи рівнянь.
Безумовно, при розробці великих обчислювальних додатків, в тому числі і для задач гідрогазодинаміки, повинні стати даністю гібридні моделі програмування. В якості найпростішого прикладу розглянемо завдання вирішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь для еліптичного рівняння Пуассона на рівномірній сітці в кубічної розрахункової області (розмір задачі - 8 млн невідомих; в якості вирішувача використаний ітераційний метод BiCGStab з алгебраїчним багатосітковим предобусловлівателем). Безперспективність традиційного MPI-підходу для таких завдань на сучасних обчислювальних системах наочно продемонстрована на рис.1. На графіку наведено дві кривих - для MPI і гібридної (MPI + ShM) реалізацій зазначених чисельних методів. Навіть для такої невеликої тестової задачі різниця виявляється більш ніж 4-кратної.
Трохи кращі результати для MPI-підходу можна отримати, використовуючи меншу кількість обчислювальних процесів на кожному вузлі, проте в цьому випадку виникає питання свідомо низь...
