Курсова робота
з дисципліни «Програмування для ЕОМ»
Реалізація ієрархії класів для вирішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Зміст
Введення
. Теоретичні основи
.1 Визначення, позначення
.2 Метод Гаусса рішення СЛУ
. Особливості програмної реалізації
.1 Ієрархія класів
.2 Блок-схема алгоритму програми
.1 Основні класи
.2 Допоміжні функції
Висновок
Список літератури
Введення
Курсова робота складається з трьох розділів.
? У першому розділі містяться теоретичні відомості про методи розв'язання систем лінійних рівнянь.
? Другий розділ містить програмну реалізацію використовуваних методів - лістинг програми, написаної на мові C ++, з докладними коментарями.
? Третій розділ включає особливості програмної реалізації алгоритму, складеної засобами розробки Microsoft Visual Studio.NET.
У даній програмі реалізований метод рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса з вибіркою провідного елементу. Крім вирішення СЛАР в програмі можна підрахувати, визначник матриці і провести додавання і множення двох матриць.
Користувачеві надається вибір розмірності шуканих матриць і варіант виведення результату, у файл або на екран. Матриці для всіх обчислень генеруються випадковим чином за допомогою відповідних функцій. Програма реалізована у вигляді зручного меню. Дані вводяться користувачем перевіряються на коректність спеціальними функціями. Вихідний код додається.
алгоритм рівняння програмний матриця
1. Теоретичні основи
. 1 Визначення, позначення
Визначення 1. Системою лінійних рівнянь з невідомими з дійсними коефіцієнтами називається система виразів виду
(1)
де R. Елементи називаються коефіцієнтами системи (1), - її вільні члени. Якщо все, то система (1) називається однорідною, інакше - неоднорідною.
Визначення 2. Сукупність дійсних чисел називається рішенням (1), якщо після підстановки їх замість відповідно в усі рівняння (1) виходять тотожності.
Визначення 3. Якщо система (1) має хоча б одне рішення, то вона називається сумісною, якщо рішень немає - несумісною.
Визначення 4. Два рішення і є різними, якщо порушується одне з рівностей, ...,.
Визначення 5. Якщо система (1) має єдине рішення, то вона називається визначеною, якщо у системи існує принаймні два різних рішення, то система називається невизначеною.
Вирішити систему лінійних рівнянь - це означає з'ясувати, сумісна вона чи ні, і в разі спільності знайти всі її рішення.
Умова спільності СЛУ.
Теорема 2. (теорема Кронекерра-Капеллі). Для того, щоб система (1) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг її розширеної матриці дорівнював рангу основної матриці, тобто.
Доказ. Очевидно, що.
Для доказу перепишемо систему (1) у вигляді:
(4)
де виділені стовпці матриці, що є елементами R.
Необхідність. Якщо існує рішення, то запис (4) означає, що стовпець вільних членів є лінійна комбінація стовпців матриці. Значить, додавання цього шпальти не змінює числа лінійно незалежних стовпців.
Достатність. Нехай. У цьому випадку базисний мінор матриці є базисним і для. Це й означає, що стовпець вільних членів є лінійна комбінація тих стовпців матриці, в яких розташований базисний мінор, а значить, і всіх стовпців матриці (решта можна взяти з коефіцієнтом 0). Очевидно, що коефіцієнти цієї лінійної комбінації і є рішеннями системи (1), тобто є хоча б одне рішення.
.2 Метод Гаусса рішення СЛУ
На практиці найчастіше використовують метод Гаусса побудови рішень СЛУ. При цьому при дослідженні та вирішенні СЛУ виробляються елементарні перетворення рядків розширеної матриці: перестановка рядків (це відповідає перестановці рівнянь системи), складання рядків (це відповідає додаванню рівнянь системи), множення рядків на відмінне від нуля число (це відповідає множенню рівняння системи на відмінне від нуля число). Очевидно, що при вказаних перетвореннях виходить система, еквівалентна даній. Отже, після елементарних перетворень рядків розширеної матриці виходить розширена матриця деякої нової системи, еквівалентній даній системі.
Зауваження. Перестановка в основний матриці двох стовпців відповідає в системі перестановці невідомих разом зі своїми координатами. Множення шпальти на число і дода...
