безперервних групах мови ще не було. Хоча ідея перетворення, застосованого до всього простору, а не тільки до окремих просторовим фігурам, була вже знайома геометрам завдяки розвитку проективної геометрії в роботах Понселе. Але зв'язок між цією ідеєю та ідеєю В«перестановкиВ» кінцевого безлічі ще не вбачається. p> У 1870 р. Софус Лі (1842-1899) і Фелікс Клейн разом були в Парижі і, ознайомившись там з роботами Жордана і Галуа, почали міркувати над групами перетворень. Вперше в рамках однієї концепції було поставлено поруч поняття кінцевого безлічі і якогось В«просторуВ», на зразок простору евклідової геометрії. Підсумком цих роздумів стала запропонована в 1872 р. В«Ерлангенськая програмаВ» Клейна, в якій центральне місце при вивченні геометрій відводиться поняттю групи. Було дано поштовх до вивчення нескінченних груп, одним з головних творців цієї теорії став Софус Лі. p> Фактично в роботах Ф.Клейна з С.Лі (S.Lie) було розпочато дослідження нескінченних дискретних і топологічних груп. Тритомний трактат С.Лі і Ф.Енгеля (F.Engel), 1883-1893, зафіксував народження нової області в теорії груп - теорії груп Лі. p> Навіщо ж Софуса Лі взагалі знадобилося розглядати групи перетворень?
Як ми пам'ятаємо, спочатку кінцеві групи були введені Галуа у зв'язку з питанням про симетрії алгебраїчного рівняння щодо підстановок його коріння. Софус Лі мав своєю метою побудову аналогічної теорії для диференціальних рівнянь з безперервними групами перетворень. У результаті виникла спеціальна теорія певного класу безперервних груп, званих тепер групами Лі. p> Подальші дослідження Вейля і Картана, присвячені класифікації геометричних об'єктів щодо деяких груп перетворень, завершили класичний етап розвитку теорії груп Лі.
У наступних дослідженнях, приділялася особлива увага топології групового простору (Понтрягин, Брауер, Вейль, Шевалле, Мальцев), що дозволило дати закінчену класифікацію груп Лі та їх скінченновимірних представлень.
З початку 50-х років XX століття в роботах Гельфанда і Наймарка відбувається інтенсивний розвиток теорії нескінченновимірних уявлень груп Лі і деяких інших локально компактних груп. Ці питання у свою чергу пов'язані з сучасними питаннями симетрії квантової теорії поля. p> Теорія груп Лі в сучасному розумінні значною мірою пов'язана з питанням лінійних уявлень. Поняття подання або В«узагальненої експонентиВ» дозволяє простежити глибокий зв'язок, що здаються на перший погляд далеких один від одного питань, таких як тензорний аналіз і гармонійний. Алгебраїчні основи цієї теорії були закладені Фробеніуса на рубежі XX століття. Вже тоді було ясно, що ця теорія має тісний зв'язок з теорією асоціативних алгебр, яка поступово займає одне з найголовніших місць у сучасній математиці. Сучасна теорія зображень може бути інтерпретована як абстрактний гармонійний аналіз. Якщо обмежитися компактними групами Лі, то виходить чудове узагальнення класичної теорії рядів Фур'є, де В«узаг...
