альнені експонентиВ» спеціального виду грають роль елементарних гармонік. p> Групи Лі на даний момент мають широке застосування у фізиці. Однак, незважаючи на те, що з моменту створення Ейнштейном теорії відносності принципова роль теорії нескінченних груп в теоретичній фізиці стала очевидною, багато фізиків довгий час ігнорували використання груп Лі, обмежуючись розглядом деяких кінцевих груп (кристалографія). В даний час становище різко змінилося завдяки значним успіхам теоретико-групового підходу в класифікації елементарних частинок. br/>
4.6 Комбінаторна теорія груп
У цьому розділі буде розказано про розділ теорії груп, який розвивався паралельно звичайної теорії груп.
На початку XX століття було в деякому сенсі поділ напрямків досліджень і розвивалося два напрями теорії груп, які ведуть свій початок від кілька різних визначень самого поняття групи. Одне з цих визначень - В«звичайнеВ», побудоване на аксіомах. Ми розглядали його раніше. У другому ж випадку, група визначається породжують елементами і співвідношеннями між ними. (З таким ми зустрічалися у Артура Келі. Див приклад вище)
Таким чином, комбінаторну теорію груп можна охарактеризувати як теорію груп, які описуються породжують і визначальними співвідношеннями або, як тепер часто кажуть, своїм завданням (presentation). Звичайно, це не повне визначення даної галузі математики, але все ж основну ідею воно відображає. p> Опис групи за допомогою її завдання, тобто системи породжують і визначальних співвідношень, є насправді специфічним способом абстрактного опису групи.
Витоки комбінаторної теорії груп, що вивчає завдання групи утворюють й визначальними співвідношеннями, можна знайти в роботах: Ф. Клейна; А. Пуанкаре (H. Poincare) (який запропонував в 1895 поняття фундаментальної групи); В. фон Діка (W. von Dyck) (довів у 1882 існування вільної групи); Х. Титце (H. Tietze) (в 1908 розглянув питання про ізоморфізмі груп при різних завданнях); М. Дена (M. Dehn) (розглянув в 1910 проблеми рівності, спряженості і ізоморфізму ). Р. Ремак (R. Remak, 1911) і О.Ю. Шмідт (1913), узагальнивши теорему про однозначність розкладання групи в пряме твір нерозкладних співмножників з кінцевих абелевих груп на клас всіх кінцевих груп, заклали основи теорії прямих розкладів груп. Нільсен (J. Nielsen, 1921) і Шрайер (O. Schreier, 1927) довели, що підгрупа вільної групи вільна. Ван Кампен (ER van Kampen, 1933) запропонував геометричну інтерпретацію виведення наслідків з визначальних співвідношень груп. Теорема А.Г.Курош (1934) дає опис будови підгруп вільного твори груп. І.А. Грушко (1940) і Б. Нейман (BHNeumann, 1943) розвинули метод Нільсена для вільних творів і описали системи породжують для таких гуртів. p> Початок цієї теорії зазвичай зв'язується з роботою В. Діка 1882, в якій вперше були введені поняття породжують і визначальних співвідношень.
Розглянемо простий приклад групи, заданої породжують співвідношеннями: см [3]
Буд...
