В
Основна теорема про симетричні многочленів від кількох змінних
Точно так само як і у випадку трьох змінних, будь симметрический многочлен від n змінних можна представити у вигляді многочлена від елементарних симетричних многочленів,, ...,. Точніше кажучи, маємо наступне твердження. p> Нехай? (x1, x2, ..., xn) - симметрический многочлен від n змінних. Тоді існує такий многочлен, що якщо підставити в нього замість,, ..., їх вираження через x1, x2, ..., xn, тобто
В
то вийде многочлен, тотожне рівний? (x1, x2, ..., xn). Многочлен, що володіє зазначеним властивістю, існує тільки один. p> Ця теорема доводиться приблизно так само, як і у випадку многочленів від трьох змінних, але з деякими ускладненнями, викликаними збільшенням числа змінних.
Саме, спочатку доводять, що будь-яка статечна сума може бути виражена через елементарні симетричні многочлени. Після цього доводять, що орбіта будь-якого Одночлен, що містить k змінних, виражається через орбіти одночленів від меншого числа змінних і, зрештою, - через статечні суми. Нарешті, будь симметрический многочлен від n змінних розкладають на орбіти одночленів. Однак при проведенні такого доказу незручно використовувати ті орбіти, які були визначені вище, а слід застосовувати повні орбіти. Саме, якщо в одночленная всі показники k1, k2, ..., kn різні, то орбіта 0 () містить n! членів, які утворюються з розглянутого Одночлен всілякими перестановками змінних x1, x2, ..., xn. Випишемо це вираження орбіти 0 () і назвемо його повної орбітою Одночлен. Повну орбіту 0П () ми будемо розглядати не тільки у випадку різних показників k1, k2, ..., kn (коли вона збігається із звичайною орбітою), а й у разі будь-яких показників. У будь-якому випадку повна орбіта 0П () відрізняється від звичайної орбіти 0 () лише числовим множником, який легко знайти, знаючи, що за будь-яких показниках k1, k2, ..., kn сума коефіцієнтів в повній орбіті дорівнює n!. Саме, якщо серед показників k1, k2, ..., kn мається n1 співпадаючих між собою, потім n2 співпадаючих показників, відмінних від перших, і так далі, аж до останньої групи nl рівних між собою показників, то
П () = n1! n2! ... nl! 0 ().
Ми не будемо давати детального доведення теореми. Вкажемо ті основні формули, які використовуються в цьому доказі:
(9)
(в цій формулі доданки, у яких i> n, вважаються рівними нулю),
П (x1kx2l) = (n-2)! (sksl-sk + l),
(n-2) 0П (x1kx2lx3m) = 0П (x1kx2l) sm-0П (x1k + mx2l)-0П (x1kx2l + m)
і так далі
Взагалі, для будь-яких показників k1, ..., kr +1 справедливе співвідношення
(n-r) 0П () = 0П () - = 0П () -
П () - ...-0П ().
Вираз статечних сум через елементарні симетричні многочлени
Формула (9) дає можливість послідовно, одну за одною, обчислювати статечні суми sk точно так само, як і у випадку мно...
