1, x2, x3, x4 маємо:
(x12x23) = x12x23 + x12x33 + x12x43 + x22x13 + x22x33 + x22x43 + x32x13 + x32x23 +
+ x32x43 + x42x13 + x42x23 + x42x33.
Зокрема,
sk = 0 (x1k).
Для подальшого корисно наступне зауваження: щоб отримати орбіту Одночлен, можна переставляти не букви x1, x2, ..., xn, а показники. Звичайно, при цьому в записі Одночлен треба вказати і не входять до нього літери (з нульовими показниками). Наприклад, Одночлен x12x23, орбіту якого ми вище виписували, слід записати у вигляді x12x23x30x40 і потім вже виробляти всілякі перестановки показників. p> Крім того, відзначимо, що орбіта Одночлен породжується будь-яким з вхідних в неї одночленів:
(x14x22x30) = 0 (x10x24x32) = 0 (x12x20x34) і так далі
Дещо складніше визначаються елементарні симетричні многочлени. Щоб ввести відповідну ухвалу, згадаємо, як визначалися ці многочлени у випадку трьох змінних. Ми мали в цьому випадку три многочлена:
В
Перший з них є сумою всіх змінних x1, x2, x3, тобто орбітою Одночлен x1:
= 0 (x1).
Другий многочлен виходить з Одночлен x1x2 шляхом всіляких перестановок змінних і підсумовування отриманих результатів. Іншими словами, він є орбітою Одночлен x1x2:
= 0 (x1x2).
Нарешті, є орбітою Одночлен x1x2x3 (в даному випадку ця орбіта складається з одного доданка).
За аналогією покладемо для випадку декількох змінних:
= 0 (x1),
= 0 (x1x2),
..................
= 0 (x1x2 ... xk),
..................
= 0 (x1x2 ... xn).
З цього запису видно, що число елементарних симетричних многочленів дорівнює числу змінних.
У розгорнутому вигляді многочлени,, ..., виглядають наступним чином. Перший з них є просто сума всіх n змінних:
= x1 + x2 + ... + xn.
Другий многочлен є сума всіх творів змінних, взятих по два (при цьому в творах сомножители розташовуються в порядку зростання значків). Таким чином,
= x1x2 + x1x3 + ... + x1xn + x2x3 + ... + x2xn + ... + xn-1xn,
або, коротше
В
(знак позначає суму; внизу вказано, що i та j змінюються від 1 до n, причому в кожному творі).
Точно так само третій многочлен виходить, якщо перемножити змінні по три (так, щоб у кожному творі значки збільшилися) і скласти отримані твори. Таким чином,
.
Взагалі k - й многочлен має вигляд
В
Нарешті, останній многочлен дорівнює добутку всіх змінних:
= x1x2 ... xn.
Ясно, що k - й многочлен є однорідним і має ступінь k щодо змінних x1, x2, ..., xn.
Приклад. Якщо n = 4, то найпростіші симметрические многочлени мають вигляд
В
Число доданків в елементарному симметрическом многочлене ступеня k від n змінних дорівнює числу сполучень з n по k, тобто рівно
...
