U .
Кожну точку розриву оптимального управління ми будемо називати точкою перемикання .
Т е про р м а 2.3. Припустимо, що багатогранник U є r-мірним параллелепипедом (2.2) і що всі власні значення матриці A = ( a i j ), складеної з коефіцієнтів рівнянь (2.1), дійсні. Тоді в оптимальному управлінні u ( t ) = ( u 1 ( t ), ..., u r ( t )) кожна з функцій u b ( t ), b = 1, ..., r , кусково-постійна, приймає лише значення a b і b b (див. (2.2)) і має не більше n- 1 перемикань ( тобто не більше n інтервалів сталості ) , де n - порядок системи (2.1).
Т е про р м а 2.4 (т е про р м а е д і н с т в е н н о с т і). Нехай u 1 ( t ) і u 2 ( t ) - два оптимальних управління, заданих відповідно на відрізках t 0 ВЈ t ВЈ t 1 і t 0 ВЈ t ВЈ t 2 і переводять точку x 0 в початок координат . Тоді ці управління збігаються , т. е. t 1 = t 2 і u 1 ( t ) Вє u 2 ( t ) на відрізку t 0 ВЈ t ВЈ t 1 .
Областю керованості для об'єкта (2.5) ми будемо називати безліч усіх точок x 0 фазового простору X , з яких можливо за допомогою якого-небудь допустимого управління потрапити в початок координат. Саме початок координат ми також будемо зараховувати до області керованості. Ясно, що питання про знаходження оптимальних процесів розумно ставити лише у випадку, якщо початкове фазовий стан x 0 належить області керованості (адже з точок, що не належать області керованості, взагалі не можна потрапити в початок координат).
Т е про р м а 2.5 (т е про р м а з у щ е с т в о в а н і я). Область керованості є опуклим відкритим безліччю фазового простору X ; для будь-якої точки x 0 , що належить області керованості , існує оптимальне управління , переводящее точку x 0 в початок координат .
Т е про р м а 2.6. Якщо в лінійній задачі оптимального управління матриця A (див. (2.3)) стійка , т. е. всі її власні значення мають негативні дійсні частини, то область керованості збігається з усім фазовим простором X . Отже ...
