Нехай u ( t ), t 0 ВЈ t ВЈ t 1 , - допустиме управління, що переводить об'єкт (2.5) із заданого початкового стану x 0 в положення рівноваги (0, 0, ..., 0). Будемо говорити, що управління u ( t ) задовольняє принципу максимуму , якщо існує таке нетривіальне рішення y ( t ) рівняння (2.11), для якого виконується умова максимуму (2.12) (у кожен момент часу t, t 0 ВЈ t ВЈ t 1 ). Для оптимальності управління u ( t ) необхідно, щоб воно задовольняло принципом максимуму . Це і є та спрощена формулювання принципу максимуму, до якої ми приходимо в випадку лінійної задачі оптимального управління.
11. Принцип максимуму - необхідна і достатня умова оптимальності. Чудовим фактом є те, що у разі лінійної задачі оптимального управління принцип максимуму являє собою не тільки необхідна, але і достатню умова оптимальності. Однак факт цей має місце не для довільної лінійної задачі - маються малоістотні винятку. Тому ми накладемо на лінійну задачу деяке обмеження, зване умовою спільності положення . Сформулюємо це умова:
Умова спільності положення : якщо w - вектор, паралельний безпідставного ребру багатогранника U, то вектор B w не належить ніякому власним інваріантному подпространству щодо перетворення A . Невиконання умови спільності положення означає, що хоча б для одного ребра багатогранника U вектори B w , AB w , A 2 B w , ..., A n -1 B w лінійно залежні, тобто визначник n- го порядку, складений з координат цих векторів, звертається в нуль. Однак всюди надалі умова спільності положення передбачається ( якщо не обумовлено гидке ) виконаним .
Тепер перейдемо до теореми, згадуваній на початку цього пункту.
Т е о р е м а 2.1. Нехай u ( t ), t 0 ВЈ t ВЈ t 1 , - допустиме управління, що переводить об'єкт із заданого початкового стану x 0 в положення рівноваги (0, 0, ..., 0 ). Для оптимальності управління u ( t ) необхідно і достатньо, щоб воно задовольняло принципом максимуму .
12. Основні теореми про лінійних оптимальних швидкодію.
Т е про р м а 2.2. Для кожного нетривіального рішення y ( t ) рівняння (2.11) співвідношення (2.12 ) однозначно визначає допустиме управління u ( t ); при цьому виявляється, що функція u ( t ) кусково-постійна і її значеннями є лише вершини багатогранника ...
