, для будь-якої точки x 0 ГЋ X існує оптимальне управління , переводящее фазову точку x 0 в початок координат .
В§ 5. Рішення завдання синтезу для лінійних задач другого порядку
13. Спрощення рівнянь лінійного керованого об'єкта. Нерідко буває, що в лінійній задачі загальна запис рівнянь руху об'єкта у вигляді (2.1) незручна і доцільно скористатися деякими спрощеннями. Ми тут зазначимо стандартні спрощення, які можна здійснити за допомогою заміни координат.
q Насамперед, розглянемо питання про заміну координат у фазовому просторі X розглянутого керованого об'єкта. Припустимо, що в просторі X замість координат x 1 , ..., x n введені нові координати y 1 , ..., y n , пов'язані з колишніми координатами співвідношеннями
(2.13)
(де матриці P = ( p i j ) і Q = ( q i j ) взаємно протилежні). Ясно, що при такій заміні лінійна система (2.1) перетворюється на нову лінійну систему
В
коефіцієнти якої легко обчислюються:
В
Таким чином,,
Переходячи до векторних позначень, можна сказати, що зазначена заміна координат переводить рівняння (2.5) у рівняння де матриці C і D виражаються через матриці A, B, P , Q по формулами C = QAP , D = QB .
Очевидно, при такій заміні умови 1), 2), зазначені на стор 15, зберігаються і для рівнянняВ одержуваного після заміни. Далі, кожен процес ( u ( t ), x ( t )), задовольняє рівнянню переходить в процес ( u ( t ), y ( t )), що задовольняє рівнянню (і назад). Так як при цьому час t не змінюється, то зазначена заміна переводить оптимальні процеси для рівняння (і навпаки). Зокрема, синтез оптимальних управлінь для рівняння перекладається з допомогою перетворення координат (2.13) в синтез оптимальних управлінь для рівняння.
Таким чином, якщо рівняння виявиться простіше і для нього синтез оптимальних управлінь можна буде побудувати, то з цього синтезу можна (за допомогою афінність перетворення (2.13)) отримає синтез і для початкового рівняння. У цьому і полягає сенс заміни координат (2.13): вона дозволяє замінити матрицю A трансформованої матрицею C = QAP, в той же час викликаючи лише Афінах спотворення картини синтезу оптимальних управлінь. Таким чином, перетворенням (2.13) можна скористатися для спрощення матриці A , складеної з коефіцієнтів при фазових координатах.
q Припустимо, що в рівнянні матриця A вже приведена до найпростішого вигляду (за допомогою описаного вище прийому). Вкажемо тепер, яким чином може бути спрощена матри...
