ь інший шлях, нескінченно близький до дуги ADB. Все це суперечить принципу Ферма у наведеній вище формулюванні.
Причина протиріччя полягає в тому, що в наведеному прикладі ейконал Ф не їсти однозначна функція координат, як це передбачалося при виведенні. Дійсно, якщо промінь описує коло навколо центру О, то він повернеться у вихідну точку з новим значенням ейконалу: ейконал Ф одержить збільшення nl, де l - довжина описаного кола. Якщо окружність описується т раз, то прирощення ейконалу буде 2mп1. Це й означає, що функція Ф неоднозначна. Для справедливості принципу Ферма необхідно накласти на вибір уявних шляхів поширення світла такі обмеження, щоб ейконал Ф поводився як однозначна функція координат. У наведеному прикладі цього можна досягти, поставивши перегородку уздовж меридіональної півплощині ODE і обмежуючись лише такими шляхами, які не перетинають цю перегородку.
Подібним прийомом можна скористатися і у всіх інших випадках, в яких ейконал Ф виявляється неоднозначним. Втім, в застосуваннях принципу Ферма досить обмежитися тільки такими шляхами, які проходять нескінченно близько від дійсного шляху світла. У цьому випадку потреба у введенні перегородок відпадає.
. При наявності поверхонь розділу середовищ, на яких промені можуть відчувати відбиття або заломлення, у формулювання і доказ принципу Ферма треба ввести доповнення. Нехай промінь, вийшовши з точки А (рис. 4), після віддзеркалення або заломлення в точках С, D, Е, потрапляє в точку В. Назвемо віртуальним шляхом світла будь-яку лінію AC D E'B між крайніми точками А і В, яка виходить з ACDEB в результаті нескінченно малого бічного зсуву її і відрізняється від неї нескінченно мало за напрямком. Принцип Ферма стверджує, що оптична довжина дійсного світлового шляху (або пропорційне їй час поширення) стационарна [2]. Це означає, що різниця оптичних довжин дійсного і віртуального шляхів світла є величина більш високого порядку малості, ніж бічний зсув віртуального шляху щодо дійсного. Тільки ця стаціонарність, а не мінімальність оптичної довжини променя і істотна в додатках.
При доказі досить обмежитися заломленням на одному кордоні. Випадок відображення досліджується так само. Нехай MN - межа розділу середовищ 1 і 2, а АСВ - дійсний промінь, що з'єднує течку А з точкою В (рис. 5). Уявімо дві нескінченно вузьких пучка променів: один в першому середовищі, що виходить з точки А, інший в другому середовищі, що сходиться в точці В. За позитивні напрямки променів приймемо напрямки від А до В. Виберемо в цих пучках два промені АС і CВ, що перетинаються на межі розділу в точці С. Криву АСВ можна розглядати як віртуальний шлях світла, так як промінь СВ в загальному випадку аж ніяк не виникає в результаті заломлення променя АС. Позначимо через і ейконали розглянутих пучків променів, відлічувані від точок А і В відповідно. Тоді
=(C) - (С). (6)
Варіація інтеграла при зміщенні точки С в довільну нескінченно близько точку С кордону розділу буде
. (7)
Якщо - вектор зміщення, то і аналогічно, так що
. (8)
В силу закону заломлення Снелліуса вектор перпендикулярний до межі розділу середовищ у точці падіння, а тому й до нескінченно малому зміщення вздовж кордону Таким чином, у першому порядку за варіація оптичної довжини променя АСВ звертається в нуль. При доказі передбачалося, що віртуальний шлях складається з відрізків променів АС і СВ. Проте результат відрізки замінити довільними нескінченно близькими до них лініями, що з'єднують ті ж точки A і С, С 'і В, Справді, оскільки АС і С В - дійсні промені в першій і другій середовищах, їх оптичні довжини по доведеному вище мінімальні. З цієї причини заміна дійсних променів АС і СВ нескінченно близькими до них лініями, що з'єднують ті ж крайні точки, не змінює в першому порядку оптичні довжини відповідних шляхів. Отже, варіація оптичної довжини променя АСВ залишиться рівною нулю, який би не був віртуальний шлях світла. А до цього в розглянутому випадку і зводиться зміст принципу Ферма.
4. У застосуваннях іноді зручна наступна теорема, являющая- ся безпосереднім наслідком принципу Ферма. Нехай А і В - довільні точки променя АСВ (рис.6).
Проведемо через точку В довільну гладку поверхню BE, ортогональну до променя АСВ в точці В. Нехай BD - нескінченно мале зміщення вздовж цієї поверхні. З'єднаємо початкову точку променя А з точкою D довільної лінією AHD, нескінченно мало відрізняється по напряму від променя АСВ. Тоді варіація оптичної довжини при переході від істинного шляху світла АСВ до віртуального AHD дорівнюватиме нулю [2]. Для доказу візьмемо пучок променів, витікаючих з точки А. Всі А ці промені ортогональні до хвильовому фронту BF, а їх оптичні довжини від точки А до хвильового фронту однакові. Зок...
