Доказ великої теореми Ферма для показника ступеня n = 3
Велика теорема Ферма формулюється таким чином: диофантово рівняння:
А n + В n = С n (1)
де n - ціле позитивне число, більша двох, не має рішення в цілих позитивних числах.
Суть Великої теореми Ферма не зміниться, якщо рівняння/1/запишемо наступним чином:
А n = З n - У n (2)
Розглянемо приватне рішення рівняння (2) при показнику ступеня n = 3. У цьому випадку рівняння (2) запишеться наступним чином:
A 3 = C 3 - B 3 = (CB) в€™ (C 2 + C В· B + B 2 ) (3)
Позначимо: C - B = K (4)
Звідси: C = B + K; B = C-K (5)
З рівнянь (3), (4) і (5) маємо:
A 3 = K [C 2 + C в€™ (CK) + (CK) 2 ] = 3K В· C 2 - 3K 2 в€™ C + K 3 (6)
Звідси:
3K В· C 2 - 3K 2 в€™ C - (A 3 - K 3 ) = 0 (7)
Рівняння (7) розглядаємо як квадратне параметричне з параметрами А і К і змінною величиною С. Вирішуючи його, отримаємо:
C = (8)
Число C буде цілим тільки при умови, якщо:
= 3N в€™ K 2 (9)
Звідси: 12K в€™ A 3 - 3K 4 = 9N 2 В· K 4
A = K (10)
K = A (11)
З аналізу формули (10) випливає, що для того щоб число A могло бути цілим числом, число N повинно бути непарним числом.
Розглянемо рішення рівняння (10) на числових прикладах.
N = 1; A = K
N = 3; A = (1,9129 ...) В· K
N = 5; A = (2,6684 ...) в€™ K
Розглянемо рішення рівняння (11) на числових прикладах.
1. N = 1; K = A
N = 3; K = (0,5227 ...) В· A
N = 5; A = (0,3747 ...) в€™ A
З наведених прикладів випливає, що тільки при N = 1 числа K і A є цілими числами, при цьому K = A. У цьому випадку з рівняння (8) випливає:
C = K = A
А з рівняння (5) випливає: B = 0.
Отже, тільки при C = K = A і при B = 0 рівняння (2) має рішення в цілих числах. Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах при показнику ступеня n = 3.
