тити, що з Почав Евкліда Ферма знав відому задачу на відшукання максимального значення, яка тепер легко могла бути вирішена його методом.
Задача Евкліда [1]. З усіх паралелограмів, вписаних в трикутник, знайти той, який має найбільшу площу.
Цю задачу Евклід вирішив сам і встановив, що шуканим паралелограмом є той, у якого основа вдвічі менше підстави даного трикутника. Тепер же завдання геометрії зводиться до нескладної задачі на відшукання екстремуму функції. Нехай у? ABC вписаний паралелограм AMND (рис. 1). Припустимо, що AD=x * AC, 0 lt; x lt; 1. З? ABC? DNC треба рівність NN =(1 - x) * BB raquo ;. Внаслідок цього площа паралелограма
S=AC * BB '* x (1 - x)=2Sx (1 - x),
де S - площа трикутника. Як було показано вище, функція g (x)== x (1 - x) має максимум при x=1/2. Таким чином, S=S/2 при x=1/2, тобто при AD=DC.
Завдання Ферма. Відрізок AB розділити на відрізки AC і CB так, щоб прямокутник зі сторонами AC і CB мав найбільшу площу.
Припустимо, що AC=x * AB, 0 lt; x lt; 1. Тоді CB=(1-x) AB і площа прямокутника S=ABx (1 - x). Таким чином, площа прямокутника зі сторонами AC і CB має максимальне значення AB/4 при x=1/2, тобто відрізок AB потрібно поділити навпіл.
Наводячи найпростіші приклади застосування свого методу, Ферма вказував, що так само треба діяти і в інших випадках. Яких? Чи не означає це, що він вирішував більш складні завдання на відшукання екстремуму, які навели його на думку про якийсь загальному законі, який панує в природі?
2. Роль принципу Ферма в оптиці
. П'єр Ферма (1601-1675) висунув принцип, згідно з яким світло при поширенні з однієї точки в іншу вибирає шлях, якому відповідає найменше час поширення. Ферма керувався телеологічними міркуваннями, згідно з якими природа діє цілеспрямовано: вона не може бути марнотратною і повинна досягати своїх цілей з найменшою витратою коштів. Подібні міркування, звичайно, чужі науці і не можуть служити обгрунтуванням принципу Ферма. Але сам принцип (після введення деяких уточнень) вірний і може виявитися корисним при вирішенні окремих питань геометричної оптики. Це було продемонстровано вже самим Ферма, який за допомогою свого принципу вивів закон заломлення Снелліуса та отримав таку ж вираз для показника заломлення, що і в хвильової теорії світла. Зокрема, він прийшов до висновку, що швидкість світла в більш заломлюючої середовищі менше, ніж у менш заломлюючої.
2.Для доказу принципу Ферма допустимо спочатку, що показник заломлення середовища змінюється в просторі безперервно і досить повільно, так що умови застосування геометричної оптики виконані. Нехай у середовищі поширюється хвиля виду
E=a (r) e
(де а (r), Ф (r) - речові функції координат.
Хвильове число
k=/ с=2 /),
наприклад породжена точковим джерелом. Їй відповідає система променів, представлена ??на рис. 2.
Якщо ейконал Ф - однозначна функція координат, то з рівняння gradФ=ns (де s - одиничний вектор нормалі до фронту хвилі) випливає, що циркуляція вектора ns по будь-якому замкнутому контуру дорівнює нулю, т. е.
, (3)
де dl - вектор елементарного зміщення уздовж цього контуру. Візьмемо дві довільні точки А і В, що лежать на одному з променів. З'єднаємо їх довільної лінією ADB. В силу (3)
=. (4)
На промені АСВ вектори s і dl спрямовані однаково, отже, (sdl)=dl. На лінії ж ADB (sdl)=dl cos (s, dl) lt; dl. Тому
lt ;. (5)
Знак рівності відноситься тільки до випадку, коли крива ADB сама є променем. Таким чином, якщо показник заломлення змінюється в просторі безперервно, то оптична довжина променя між будь-якими двома точками менше оптичної довжини всякої іншої лінії, що з'єднує ті ж точки. Але це є інша формулювання принципу Ферма, оскільки оптична довжина променя пропорційна часу поширення світла вздовж нього [2].
Наведена формулювання принципу Ферма потребує уточнення. У деяких випадках вона може виявитися невірною. Розглянемо наприклад, середовище з сферично симетричним розподілом показника заломлення навколо центра О (рис. 3).
Прикладом такого середовища може служити планетна атмосфера. Припустимо, що показник заломлення змінюється в просторі так, що світловий промінь, вийшовши з якої-небудь точки перпендикулярно до радіусу, описує коло з центром в точці О. Нехай світло потрапляє з точки А в точку В по великій дузі АСВ цієї окружності. Але він може пройти з А в В і по дузі ADB тієї ж кола, витрачаючи на поширення менший час. Менший час треба було б і в тому випадку, якби світло обрав якийс...
